Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x2-2, y=2x-2

Answer 1

$\int\limits^2_0 {(2x-2-x^2+2)} \, dx = \int\limits^2_0 {(2x-x^2)} \, dx =x^2- \frac{x^3}{3} \bigg |^2_0= \frac{8}{3}$

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2 \) и \( y = 2x - 2 \), нужно найти точки их пересечения и затем использовать определенный интеграл для расчета площади.

Нахождение точек пересечения кривых

Для начала найдем точки пересечения кривых \( y = x^2 - 2 \) и \( y = 2x - 2 \). Для этого приравняем уравнения и найдем значения x и y:

\[ x^2 - 2 = 2x - 2 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \]

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Подставим их обратно в уравнения, чтобы найти соответствующие значения y:

Для \( x = 0 \): \[ y = 0^2 - 2 = -2 \]

Для \( x = 2 \): \[ y = 2^2 - 2 = 2 \]

Таким образом, точки пересечения кривых: (0, -2) и (2, 2).

Вычисление площади

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, мы можем использовать определенный интеграл по x от x-координаты первой точки пересечения до второй точки пересечения. Формула для вычисления площади фигуры между двумя кривыми задается следующим образом:

\[ \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \]

где \( f(x) \) и \( g(x) \) - уравнения кривых, а \( a \) и \( b \) - соответствующие x-координаты точек пересечения.

Подставляя уравнения \( y = x^2 - 2 \) и \( y = 2x - 2 \), а также точки пересечения (0, -2) и (2, 2), получим:

\[ \int_{0}^{2} ((x^2 - 2) - (2x - 2)) \, dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[ = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x - 2) \, dx \]

\[ = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x \right]_{0}^{2} \]

\[ = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 - 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 - 2 \cdot 0 \right) \]

\[ = \left( \frac{8}{3} - 4 - 4 \right) - \left( 0 - 0 - 0 \right) \]

\[ = \frac{8}{3} - 8 \]

\[ = -\frac{16}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2 \) и \( y = 2x - 2 \), равна \( -\frac{16}{3} \) квадратных единиц.