Question

Помогите, пожалуйста, кто может Обчислити об'єми тіл обертання. Зробити малюнок. y=3 -x^2 , y=1, х=0, х=1​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$V=\pi \int\limits^1_1 {y^2} \, dx$

рисуем график, получаем усеченный конус

$V=\pi \int\limits^1_0 {(3-x^2)^2} \, dx =\pi \int\limits^1_0 {(x^4-6x^2+9)} \, dx =$

$=\displaystyle\pi ( \frac{x^5}{5} I_0^1-6\frac{x^3}{3} I_0^1+9xI_0^1)=\pi (\frac{1}{5} -2+9)=\frac{36}{5} \pi$

Answer 2

Для обчислення об'єму тіла обертання між двома функціями x = 0 і x = 1 відносно лінії y = 1, спершу нам потрібно побудувати відповідний графік і знайти область обертання.

1. Спершу побудуємо графік функцій y = 3 - x^2 та y = 1. Графік функції y = 3 - x^2 є параболою, відкритою донизу, а графік функції y = 1 - горизонтальною лінією на рівні y = 1.

2. Побудуємо графік області, обмеженої цими двома функціями та лініями x = 0 і x = 1. Ця область буде виглядати як піднесена область між графіками функцій y = 3 - x^2 і y = 1 від x = 0 до x = 1.

3. Тепер можемо обчислити об'єм тіла обертання цієї області. Для цього використовуємо інтегральний метод обертання вокруг вісі x:

$V = \pi \int_{0}^{1} [(R(x))^2 - (r(x))^2] dx$

де:

• $R(x)$ - радіус зовнішньої поверхні тіла (відстань від вісі обертання до функції $y = 3 - x^2$).
• $r(x)$ - радіус внутрішньої поверхні тіла (відстань від вісі обертання до функції $y = 1$).
• $dx$ - елемент довжини.

Обчислимо $R(x)$ та $r(x)$:

• $R(x) = 3 - x^2 - 1 = 2 - x^2$
• $r(x) = 1 - 1 = 0$

Тепер можемо обчислити об'єм:

$V = \pi \int_{0}^{1} [(2 - x^2)^2 - 0] dx$

$V = \pi \int_{0}^{1} (4 - 4x^2 + x^4) dx$

$V = \pi \left[\frac{4}{3}x^3 - \frac{4}{5}x^5 + \frac{1}{5}x^5\right]_0^1$

$V = \pi \left(\frac{4}{3} - \frac{4}{5} + \frac{1}{5} - 0\right)$

$V = \pi \left(\frac{20}{15} - \frac{12}{15}\right)$

$V = \pi \left(\frac{8}{15}\right)$

Отже, об'єм тіла обертання цієї області дорівнює $\frac{8}{15} \pi$ кубічних одиниць.