Question

Привести общее уравнение кривой второго порядка f (x,y) = 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её прямой Ax + By + C = 0. Построить графики кривой и прямой. f (x,y)=0 .......................................Ax + By + C = 0 x^2 -2x +y -3 =0 ..........................3x - y - 2 = 0на точки не обращайте внимания, это разделитель)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

приведем уравнение кривой к каноническому виду.

расписывать как определять вид кривой не буду. там писанины ворох.

тут парабола ветвями вниз

у в одну сторону, всё остальное в другую и выделяем полный квадрат при х

у = -(x² -2x -3) = -(x² -2x +1 -1 -3) = -((x-1)^2-4) = -x(-1)² +4

итак, каноническое уравнение кривой второго порядка

(х-х₀)² = 2р(у-у₀) в нашем сдучае имеет вид

(х-1)² = 2(-0,5)(у-4)

или

(х-1)² = -(у-4)

теперь точки пересечения с прямой

$\displaystyle \left \{ {{x^2 -2x +y -3 =0} \atop {3x - y - 2 = 0 \hfill }} \right.$

из второго выразим у и подставим в первое

получим ууравнение

х² +х -5 =0 ⇒  

 $\displaystyle x_1=\frac{-1+\sqrt{21} }{2}; \qquad y_1=\frac{-7+3\sqrt{21} }{2}$   это одна точка пересечения

$\displaystyle x_2=\frac{-1-\sqrt{21} }{2}; \qquad y_2=\frac{-7-3\sqrt{21} }{2}$   это вторая точка пересечения

Answer 2

Чтобы привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить y из уравнения f(x, y) = 0: $y = 3 - x^2 + 2x$

2. Подставить выраженное y в уравнение прямой: $3x - (3 - x^2 + 2x) - 2 = 0$ $3x - 3 + x^2 - 2x - 2 = 0$ $x^2 + x - 5 = 0$

Решая квадратное уравнение $x^2 + x - 5 = 0$, находим два значения x:

$x_1 = -2, \quad x_2 = 2$

3. Найдем соответствующие значения y для каждого x: Для $x_1 = -2$, $y_1 = 3 - (-2)^2 + 2(-2) = -1$. Для $x_2 = 2$, $y_2 = 3 - 2^2 + 2(2) = 3$.

Таким образом, точки пересечения кривой и прямой - $(-2, -1)$ и $(2, 3)$.

Теперь построим графики кривой и прямой:

Кривая: $x^2 - 2x + y - 3 = 0$ Прямая: $3x - y - 2 = 0$