Question

1)Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна – 0,8. Найти вероятность того, что из 500 проверенных изделий 300окажутся первого сорта.2) Вероятность попадания в мишень при одном выстрелеравна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,9996отклонение относительной частоты попаданий от вероятности не превзошло 0,04?​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Собитие Х - количество изделий в партии первого сорта

Р(Х=300)=С(500,300)×0.8^300 ×0.2^200

р=0.8 вероятность порадания в мишень

0.9996=2Ф(0.04×√(n/(pq))=2Ф(0.04×√(n/(0.8×0.2))

0.4998=Ф(0.1×√n)

0.4998=Ф(х) → х=3,6

3.6=0.1×√n

36=√n

n=1296

Answer 2

1. Для решения первой задачи используется биномиальное распределение, так как мы имеем дело с серией независимых испытаний (проверок изделий), где вероятность успеха (получения изделия первого сорта) в каждом испытании постоянна и равна 0,8.

Формула для биномиальной вероятности: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Где:

• P(X = k) - вероятность того, что в серии из n испытаний будет k успешных результатов.
• n - общее количество испытаний (500 в данном случае).
• k - количество успешных результатов (300 в данном случае).
• p - вероятность успеха в одном испытании (0,8 в данном случае).
• C(n, k) - число сочетаний из n по k, равное n! / (k!(n - k)!), где ! обозначает факториал.

Подставляем значения: P(X = 300) = C(500, 300) * 0,8^300 * (1 - 0,8)^(500 - 300)

Вычисляем C(500, 300) с помощью формулы для сочетаний: C(500, 300) = 500! / (300!(500 - 300)!) = (500 * 499 * ... * 201) / (300 * 299 * ... * 1)

Теперь можно вычислить P(X = 300): P(X = 300) ≈ C(500, 300) * 0,8^300 * 0,2^200 ≈ 0,2017 (округляем до четырех знаков после запятой).

Ответ: Вероятность того, что из 500 проверенных изделий 300 окажутся первого сорта, составляет около 0,2017 или 20,17%.

2. Для решения второй задачи используется неравенство Чебышева для биномиального распределения. Неравенство Чебышева позволяет нам оценить, сколько испытаний нужно провести, чтобы отклонение относительной частоты попаданий от вероятности не превышало заданное значение.

Формула для неравенства Чебышева: P(|X/n - p| < ε) ≥ 1 - (p(1 - p)/(nε^2))

Где:

• P(|X/n - p| < ε) - вероятность того, что отклонение относительной частоты на ε не превышает заданное значение.
• p - вероятность успеха в одном испытании (0,8 в данном случае).
• n - количество испытаний (количество выстрелов).
• ε - заданное максимальное отклонение от вероятности (0,04 в данном случае).

Мы хотим, чтобы P(|X/n - p| < ε) была больше или равна 0,9996, поэтому: 1 - (p(1 - p)/(nε^2)) ≥ 0,9996

Решаем неравенство: 0,0004 ≥ (p(1 - p)/(nε^2))

Теперь подставляем значения и решаем неравенство для n: 0,0004 ≥ (0,8(1 - 0,8)/(n * 0,04^2))

0,0004 ≥ (0,16/(n * 0,0016))

0,0004 ≥ (100/n)

Теперь избавляемся от дроби: n ≥ 100/0,0004

n ≥ 250000

Ответ: Чтобы с вероятностью 0,9996 отклонение относительной частоты попаданий от вероятности не превзошло 0,04, нужно произвести как минимум 250000 выстрелов.