Question

8. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго станка эта вероятность равна 0,8, для третьего 0,9, для четвертого – 0,85. найти вероятность того, что ровно один станок потребует внимания рабочего. 9. Две работницы изготовили одинаковый комплект деталей. Вероятность, что первая работница допустила ошибку, равна 0,05, для второй эта вероятность равна 0,1. Обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая работница? 10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,8. Найти вероятности: а) при 8 выстрелах будет 6 попаданий; б) при 100 выстрелах попаданий будет 82; в) при 200 выстрелах попаданий более 150

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

8. P(А)=0,7*0,8*0,9*0,85=0.43

9. Вычислим сначала полную вероятность ошибки:

Р(О) = 0,15

Р(1 | О) =0,05/0,15=0,33

10. P(B)=0,8

a) n=8, m=6, p=0,8, q=0,2

Формула Бернулли

Pn(m)=Cmn·pm·qn-m

Р₈(6)= 0,294

б) n=100, m=82, p=0,8, q=0,2

Р₁₀₀(82) = 0,091

в)  n=200, m=150, p=0,8, q=0,2

Р₂₀₀(150) =0,015

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности:

8. Вероятность того, что ровно один станок потребует внимания рабочего можно найти с помощью биномиального распределения. Для каждого станка известна вероятность не потребовать внимания рабочего, а это равносильно вероятности успеха (не требуется вмешательство) в биномиальном эксперименте. Вероятность неуспеха (требуется вмешательство) для каждого станка равна 1 минус вероятность успеха.

Для каждого станка:

• Первый станок: p1 = 1 - 0.7 = 0.3
• Второй станок: p2 = 1 - 0.8 = 0.2
• Третий станок: p3 = 1 - 0.9 = 0.1
• Четвертый станок: p4 = 1 - 0.85 = 0.15

Теперь мы можем использовать биномиальное распределение для каждого станка и найти вероятность того, что ровно один станок потребует внимания:

a) Для первого станка: P(первый станок требует внимания) = 0.7 P(первый станок не требует внимания) = 0.3

P(ровно один станок из 4 потребует внимания) = C(4, 1) * (0.7^1) * (0.3^3)

b) Для второго станка: P(второй станок требует внимания) = 0.8 P(второй станок не требует внимания) = 0.2

P(ровно один станок из 4 потребует внимания) = C(4, 1) * (0.8^1) * (0.2^3)

c) Для третьего станка: P(третий станок требует внимания) = 0.9 P(третий станок не требует внимания) = 0.1

P(ровно один станок из 4 потребует внимания) = C(4, 1) * (0.9^1) * (0.1^3)

d) Для четвертого станка: P(четвертый станок требует внимания) = 0.85 P(четвертый станок не требует внимания) = 0.15

P(ровно один станок из 4 потребует внимания) = C(4, 1) * (0.85^1) * (0.15^3)

Теперь сложим вероятности из всех четырех случаев, чтобы найти общую вероятность того, что ровно один станок потребует внимания:

P(ровно один станок из 4 потребует внимания) = a + b + c + d

9. Для этой задачи используем формулу условной вероятности:

P(первая работница ошиблась | ошибка обнаружена) = (P(первая работница ошиблась) * P(ошибка обнаружена | первая работница ошиблась)) / P(ошибка обнаружена)

P(первая работница ошиблась) = 0.05 P(ошибка обнаружена | первая работница ошиблась) = 1 (поскольку, если первая работница ошиблась, то ошибка точно была обнаружена) P(ошибка обнаружена) = P(первая работница ошиблась) * P(ошибка обнаружена | первая работница ошиблась) + P(вторая работница ошиблась) * P(ошибка обнаружена | вторая работница ошиблась)

P(вторая работница ошиблась) = 0.1

Теперь можем рассчитать P(ошибка обнаружена):

P(ошибка обнаружена) = (0.05 * 1) + (0.1 * 1) = 0.05 + 0.1 = 0.15

Теперь можем найти P(первая работница ошиблась | ошибка обнаружена):

P(первая работница ошиблась | ошибка обнаружена) = (0.05 * 1) / 0.15 = 0.05 / 0.15 = 1/3

10. Для этой задачи используем биномиальное распределение с параметрами n (количество выстрелов) и p (вероятность попадания при одном выстреле).

a) P(8 выстрелов, 6 попаданий): P(X = 6) = C(8, 6) * (0.8^6) * (0.2^2)

b) P(100 выстрелов, 82 попадания): P(X = 82) = C(100, 82) * (0.8^82) * (0.2^18)

c) P(200 выстрелов, более 150 попаданий): P(X > 150) = P(X = 151) + P(X = 152) + ... + P(X = 200) Вычислить такое количество вероятностей вручную может быть довольно трудоемко, поэтому на практике часто используют статистические пакеты или калькуляторы для подсчета таких вероятностей.