Question

Мистер Фокс составил огромное число, записав на асфальте подряд натуральные числа от 1 до 500: 123…1011…499500. Когда он ушел домой, Мистер Форд стер у этого числа первые 500 цифр. Определите, с какой цифры начинается оставшееся число.

Answer 1

Представим, как выглядело число, записанное мистером Фоксом: сначала шли девять цифр, означающие первые 9 натуральный чисел (от 1 до 9). Затем шли 90 двузначных чисел (от 20 до 99), каждое состоит из двух цифр. Все последующие числа были трёхзначными (от 100 до 500).

Первые 99 чисел состоят из (9 + 90*2 = 189) цифр. Значит, мистер Фокс стёр (500 - 189 = 311) цифр в таком числе: 100101102...500. Нам нужно найти первую нетронутую цифру, т.е. 312 в числе. Но как это сделать?

Давайте попробуем взять 3 цифру этого числа. Это будет 0, последняя цифра числа 100. Теперь попробуем взять 6 цифру. Это будет 1, последняя цифра числа 101. 312 так же делится на 3, как 3 и 6. Это значит, что 312 цифра длинного числа - последняя цифра (312/3 = 104) трёхзначного числа.

Первое трёхзначное число - 100, второе - 101... Сто четвёртое - 203. А последняя цифра этого числа - тройка.

Ответ: 3

P.S.

Для проверки можно обратиться за помощью к компьютеру. Напишем небольшую программу на языке Python, которая записывает в строковую переменную первые 500 натуральных чисел подряд, а после этого выводит на экран 501 символ строки. Напоминаю, что в программировании принято считать с 0, не с единицы, поэтому мы обращаемся к элементу с индексом 500, а не 501.

s = '1'
for i in range (2, 501):
    s += str(i)
print (s[500])

Answer 2

Чтобы определить, с какой цифры начинается оставшееся число после стирания первых 500 цифр числа, записанного на асфальте, мы можем использовать математический подход.

Известно, что Мистер Фокс записал на асфальте натуральные числа от 1 до 500 подряд. Общее количество цифр в этих числах можно найти, сложив количество цифр в каждом числе от 1 до 500.

Для этого мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

S = (n/2)(a + b),

где S - сумма прогрессии, n - количество членов прогрессии, a - первый член прогрессии, b - последний член прогрессии.

В нашем случае, n = 500 (поскольку мы считаем числа от 1 до 500), a = 1 (первое число) и b = 500 (последнее число).

S = (500/2)(1 + 500) = 250 * 501 = 125250.

Таким образом, общее количество цифр в числах от 1 до 500 равно 125250.

Мистер Форд стер первые 500 цифр этого числа. Чтобы определить, с какой цифры начинается оставшееся число, мы можем взять остаток от деления 125250 на 10^500 (10 в степени 500), так как первые 500 цифр числа уже стерты.

Остаток от деления 125250 на 10^500 можно найти, используя операцию остатка от деления. В большинстве языков программирования это обозначается символом "%".

Остаток от деления 125250 на 10^500 можно выразить следующим образом: 125250 % (10^500).

Однако, данная операция неподходяща для вычисления на столь больших числах. Такие вычисления требуют использования специализированных библиотек или алгоритмов, способных работать с большими числами.

К сожалению, я не могу выполнить это вычисление в рамках данного текстового интерфейса, так как оно требует использования специализированных инструментов или программирования.