Question

Вычислить площадь фигуры с помощью определённого интеграла y=-x^2+2; y=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

хай

Answer 2

$-x^2+2=0 \\ \\ x^2=2 \\ \\ x=\pm\sqrt{2} \\ \\ \int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {(-x^2+2-0))} \, dx =\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {(-x^2+2))} \, dx =(-\frac{x^3}{3}+2x)|^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}}=\\\\\\=(-\frac{(\sqrt{2})^3}{3}+2\cdot \sqrt{2})-(-\frac{(-\sqrt{2})^3}{3}+2\cdot (-\sqrt{2}))=(-\frac{2\sqrt{2}}{3}+2\sqrt{2})-(\frac{2\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{2})=\\\\=-\frac{4\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой y = -x^2 + 2 и осью x (y = 0), нужно взять определенный интеграл функции, представляющей эту кривую, на заданном интервале x.

Интервал x, на котором мы будем интегрировать, будет определяться точками пересечения кривой с осью x. Для этой конкретной кривой это происходит, когда -x^2 + 2 = 0. Решим это уравнение:

-x^2 + 2 = 0

x^2 = 2

x = ±√2

Итак, наш интервал интегрирования будет от -√2 до √2.

Теперь мы можем записать определенный интеграл для вычисления площади:

S = ∫[от -√2 до √2] (-x^2 + 2) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [-x^3/3 + 2x] | от -√2 до √2

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

S = [-(√2)^3/3 + 2√2] - [(-√2)^3/3 + 2(-√2)]

S = [-(2√2)/3 + 2√2] - [-(2√2)/3 - 2√2]

Теперь вычислим значения:

S = (2√2/3 + 2√2) - (2√2/3 - 2√2)

S = (2√2/3 + 2√2) + (2√2/3 - 2√2)

Теперь сложим и вычтем:

S = (2√2/3 + 2√2/3) + (2√2 - 2√2)

S = (4√2/3) + 0

S = 4√2/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой y = -x^2 + 2 и осью x (y = 0), равна 4√2/3 или приближенно около 2.31 квадратных единиц.