Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 ед. изм. На ребре A1D1 находится точка M — так, что A1M:MD1=3:4. Определи синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D).

Answer 1

Ответ:

0,6324

Пошаговое объяснение:

DA-x CD-y DD1-z

A(1;0;0) M(0,5;0;1)  AM=(-0,5;01)

sinф=0,5/√(0,25+1)/√2=√0,4≈0,6324

Answer 2

Для определения синуса угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D), мы можем воспользоваться геометрическими свойствами этой ситуации.

Сначала определим координаты точек A1, M и D1. Поскольку A1M:MD1 = 3:4, мы можем разделить отрезок A1D1 на 7 равных частей, чтобы найти координаты точки M.

Пусть A1D1 = 1 (так как длина ребра куба равна 1 ед. изм.), тогда:

AM = 3/7 * A1D1 = 3/7 * 1 = 3/7 ед. изм. MD1 = 4/7 * A1D1 = 4/7 * 1 = 4/7 ед. изм.

Теперь мы можем найти координаты точек A1, M и D1. Пусть начало координат находится в углу куба A, и оси X, Y и Z соответствуют ребрам AB, AD и AA1 соответственно. Тогда координаты точек будут следующими:

A1: (1, 0, 0) M: (1, 0, 3/7) D1: (1, 0, 1 - 4/7) = (1, 0, 3/7)

Теперь, чтобы найти синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D), мы можем воспользоваться скалярным произведением и векторным произведением векторов. Вектор AM можно найти вычитанием координат точек M и A:

AM = M - A = (1, 0, 3/7) - (0, 0, 0) = (1, 0, 3/7)

Диагональная плоскость (BB1D1D) задается вектором нормали к этой плоскости. В данном случае, вектор нормали можно взять как векторное произведение векторов BB1 и BD1. Векторы BB1 и BD1 можно найти, вычитая соответствующие координаты точек:

BB1 = B1 - B = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1) BD1 = D1 - B1 = (1, 0, 3/7) - (1, 0, 1) = (0, 0, -4/7)

Теперь найдем вектор нормали к плоскости (BB1D1D) через векторное произведение:

n = BB1 x BD1 = [(1, 0, 1) x (0, 0, -4/7)]

Для вычисления векторного произведения используем правило правой руки:

n = (0, 4/7, 0)

Теперь мы имеем вектор нормали к диагональной плоскости (BB1D1D), который равен (0, 4/7, 0). Теперь мы можем найти синус угла ϕ, используя скалярное произведение векторов AM и n:

sin(ϕ) = |AM x n| / (|AM| * |n|)

|AM| = √((1^2) + (0^2) + (3/7)^2) = √(1 + 0 + 9/49) = √(49/49) = 1 |n| = √((0^2) + (4/7)^2 + (0^2)) = √(16/49) = 4/7

Теперь найдем векторное произведение AM x n:

AM x n = [(1, 0, 3/7) x (0, 4/7, 0)]

AM x n = ((0 - (3/7) * (4/7)), ((1 * 0 - (3/7) * 0)), ((1 * 4/7) - 0))

AM x n = (-12/49, 0, 4/7)

Теперь мы можем вычислить синус угла ϕ:

sin(ϕ) = |AM x n| / (|AM| * |n|) = |(-12/49, 0, 4/7)| / (1 * 4/7) = |(12/49, 0, 4/7)| / (4/7)

sin(ϕ) = √((12/49)^2 + (4/7)^2) / (4/7) = √((144/2401) + (16/49)) / (4/7)

sin(ϕ) = √((144/2401 + 784/2401) / (4/7)) = √(928/2401) / (4/7)

sin(ϕ) = (√(928/2401)) * (7/4) = (√(928) / √(2401)) * (7/4) = (4/49) * 7/4 = (7/49)

Итак, синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) равен 7/49 или 1/7.