Question

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и x=0, x=π/4 и кривой y=2cosx и осью Оx.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем графики, определяем фигуру, пределы интегрирования и получаем

$\displaystyle S=\int\limits^{\pi /4}_0 {2cosx} \, dx =2sinx \bigg |_0^{\pi /4}=2\frac{\sqrt{2} }{2} -2*0=\sqrt{2}$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$, кривой $y = 2\cos(x)$ и осью $Ox$, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь такой фигуры можно найти следующим образом:

1. Найдем точки пересечения кривой и вертикальных линий $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{4}$:

   $2\cos(x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{2}$ (вершина трапеции)

2. Теперь мы знаем, что вершина трапеции находится в точке $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$.

3. Для нахождения длины оснований трапеции, найдем значения функции $y = 2\cos(x)$ при $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{4}$:

   $y_1 = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$

   $y_2 = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

4. Теперь мы знаем, что длина нижнего основания трапеции равна $2$ (расстояние от $x = 0$ до $x = \frac{\pi}{4}$), а длина верхнего основания равна $\sqrt{2}$.

5. Теперь мы можем найти площадь криволинейной трапеции, используя определенный интеграл:

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (y_1 - y_2) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2 - \sqrt{2}) \, dx$$

Теперь вычислим этот интеграл:

$$S = \left[2x - \sqrt{2}x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(2\cdot\frac{\pi}{4} - \sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{4}\right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi\sqrt{2}}{4} = \frac{\pi(2 - \sqrt{2})}{4}$$

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$, кривой $y = 2\cos(x)$ и осью $Ox$, равна $\frac{\pi(2 - \sqrt{2})}{4}$.