Question

Найти интеграл ((x^4-2*x^3+3x+4)/(1+x^3)) dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int \frac{x^4-2x^3+3x+4}{1+x^3} dx=\int\frac{2x+6x}{x^3+1} dx + \int xdx-2\int dx=$

$\displaystyle =2\int \frac{x+3}{(x+1)(x^2-x+1)} dx+\frac{x^2}{2} -2x=$

$\displaystyle = 2 \int \frac{2}{3(x+1)} dx-2 \int \frac{2x-7}{3(x^2-x+1)} +\frac{x^2}{2} -2x=$

$\displaystyle = \frac{4}{3} ln(x+1)-2\int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx-2\int\frac{6}{x^2+x+1} dx+\frac{x^2}{2} -2x=$

$\displaystyle =\frac{4}{3} ln(x+1) -2\left[\begin{array}{ccc}u=x^2-x+1\\dx=\displaystyle \frac{1}{2x-1} du\\\end{array}\right] -12\left[\begin{array}{ccc}v=\displaystyle \frac{2x-1}{\sqrt{3} } \\dx=\displaystyle \frac{\sqrt{3} }{2} dv\\\end{array}\right] +\frac{x^2}{2} -2x=$

$\displaystyle =\frac{4}{3} ln(x+1)-\frac{2}{3} ln(x^2-x+1)+\frac{8}{\sqrt{3} } arctg \bigg ( \frac{2x-1}{\sqrt{3} } \bigg ))+\frac{x^2}{2} -2x+C$

Answer 2

Для нахождения интеграла от функции ((x^4 - 2*x^3 + 3x + 4)/(1 + x^3)) dx, мы можем воспользоваться методом частей. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫(u dv) = u*v - ∫(v du),

где u и dv - это выбранные нами функции, а du и v - их производные и интегралы соответственно.

Давайте выберем:

u = x^4 - 2*x^3 + 3x + 4, dv = dx.

Тогда:

du = (4x^3 - 6x^2 + 3) dx, v = x.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫((x^4 - 2x^3 + 3x + 4)/(1 + x^3)) dx = (x^4 - 2x^3 + 3x + 4)x - ∫(x(4x^3 - 6x^2 + 3)) dx.

Раскроем скобки:

= x^5 - 2x^4 + 3x^2 + 4x - ∫(4x^4 - 6*x^3 + 3x) dx.

Теперь вынесем константы из интегралов:

= x^5 - 2*x^4 + 3x^2 + 4x - 4∫(x^4 dx) + 6∫(x^3 dx) - 3∫(x dx).

Теперь вычислим каждый из интегралов:

∫(x^4 dx) = (1/5)*x^5, ∫(x^3 dx) = (1/4)*x^4, ∫(x dx) = (1/2)*x^2.

Подставляем обратно:

= x^5 - 2x^4 + 3x^2 + 4x - 4(1/5)x^5 + 6(1/4)x^4 - 3(1/2)*x^2.

Теперь упростим выражение:

= x^5 - 2*x^4 + 3x^2 + 4x - (4/5)*x^5 + (3/2)*x^4 - (3/2)*x^2.

Теперь объединим подобные члены:

= (1 - 4/5)*x^5 + (-2 + 3/2)*x^4 + (3 - 3/2)*x^2 + 4x.

= (1/5)*x^5 + (1/2)*x^4 + (5/2)*x^2 + 4x + C,

где C - произвольная постоянная интеграции. Таким образом, окончательный ответ:

∫((x^4 - 2*x^3 + 3x + 4)/(1 + x^3)) dx = (1/5)*x^5 + (1/2)*x^4 + (5/2)*x^2 + 4x + C.