Question

Найти du/dt. U=xyz, где x=t^2+1, y = lnt, z = tgt

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

U=xyz

x=t²+1,  y = ln(t),    z = tg(t)

формула для du/dt

$\displaystyle \frac{du}{dt} =\frac{\delta u}{\delta x} \frac{dx}{dt} +\frac{\delta u}{\delta y} \frac{dy}{dt} +\frac{\delta u}{\delta z} \frac{dz}{dt}$

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta x} =u'_x=yz \qquad \qquad \frac{dx}{dt} =2t$

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta y} =u'_y=xz \qquad \qquad \frac{dy}{dt} =\frac{1}{t}$

$\displaystyle \frac{\delta u}{\delta z} =u'_z=xy \qquad \qquad \frac{dz}{dt} =\frac{1}{cos^2t} =sec^2t$

$\displaystyle \frac{du}{dt} =yz2t+\frac{xz}{t} +xysec^2(t)$

Answer 2

Чтобы найти производную функции U = xyz по времени t (du/dt), нам нужно воспользоваться правилом производной произведения и вычислить производные каждой из переменных x, y и z по t.

Для начала выразим x, y и z как функции от t:

x = t^2 + 1 y = ln(t) z = tg(t)

Теперь найдем производные каждой из этих функций по t:

dx/dt = 2t dy/dt = 1/t dz/dt = sec^2(t)

Теперь мы можем использовать правило производной произведения:

du/dt = x(dy/dt)(dz/dt) + y(dx/dt)(dz/dt) + z(dx/dt)(dy/dt)

Подставляем значения x, y, z и их производных:

du/dt = (t^2 + 1)(1/t)(sec^2(t)) + (ln(t))(2t)(sec^2(t)) + (tg(t))(2t)(1/t)

Теперь можно упростить это выражение:

du/dt = (t + 1/t)(sec^2(t)) + 2tln(t)sec^2(t) + 2tg(t)

Это и есть производная функции U = xyz по времени t (du/dt).