Question

В магазин вошли четыре покупателя. Вероятность сделать хотя бы одну покупку для каждого из вошедших равны 0.3, 0.4, 0.6, 0.8. Случайная величина X - число покупателей на кассе. 1. Составить закон распределения ДСВ Х и постойте ее график 2. Найдите числовые характеристики этой ДСВ

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Случайная величина Х может принимать значения 0; 1; 2; 3; 4

р1=0.3. q1=0.7

р2=0.4. q2=0.6

р3=0.6. q3=0.4

р4=0.8. q4=0.2

P(0)=q1×q2×q3×q4=0.7×0.6×0.4×0.2=0.0336

P(1)=p1×q2×q3×q4+q1×p2×q3×q4+q1×q2×p3×q4+q1×q2× q3×p4=0.3×0.6×0.4×0.2+0.7×0.4×0.4×0.2+0.7×0.6×0.6×0.2+0.7×0.6×0.4×0.8=0.2216

P(3)=0.3×0.4×0.6×0.2+0.7×0.4×0.6×0.8+0.3×0.6×0.6×0.8+0.3×0.4×0.4×0.8=0.2736

P(4)=0.3×0.4×0.6×0.8=0.0576

P(2)=1-(P(0)+P(1)+P(3)+P(4))=0.4136

X. P. F(x)

0. 0.0336. 0.0336

1. 0.2216. 0.2552

2. 0.4136. 0.6688

3. 0.2736. 0.9424

4. 0.0576. 1

F(x)=0 для Х<0

F(x)=1 для Х>4

Графиком F(x) будет ступенчетий график

Мх=0×0.0336+1×0.2216+2×0.4136+3×0.2736+4×0.0576=2.1

М(х^2)=0×0.0336+1×0.2216+4×0.4136+9×0.2736+ 16×0.0576=5.26

Dx=M(x^2)-(Mx)^2=5.26-(2.1)^2=0.85

√D=√(0.85)= 0.9219544457

Answer 2

Для нахождения закона распределения дискретной случайной величины X, представляющей число покупателей на кассе, мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждый покупатель может или не может сделать покупку, и вероятность успеха (сделать покупку) разная для каждого покупателя.

Биномиальное распределение описывается следующей формулой вероятности:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где:

• P(X = k) - вероятность того, что на кассе окажется k покупателей.
• n - общее количество покупателей (в данном случае, 4).
• k - количество покупателей, сделавших покупку.
• p - вероятность сделать покупку для конкретного покупателя.

Теперь мы можем рассчитать вероятности для каждого значения k от 0 до 4, используя данные вероятности для каждого покупателя:

1. P(X = 0) - ни один покупатель не сделал покупку: P(X = 0) = C(4, 0) * 0.3^0 * (1 - 0.3)^4 = 1 * 1 * 0.4096 ≈ 0.4096.

2. P(X = 1) - один покупатель сделал покупку: P(X = 1) = C(4, 1) * 0.3^1 * (1 - 0.3)^3 = 4 * 0.3 * 0.343 ≈ 0.4116.

3. P(X = 2) - два покупателя сделали покупку: P(X = 2) = C(4, 2) * 0.3^2 * (1 - 0.3)^2 = 6 * 0.09 * 0.49 ≈ 0.2646.

4. P(X = 3) - три покупателя сделали покупку: P(X = 3) = C(4, 3) * 0.3^3 * (1 - 0.3)^1 = 4 * 0.027 * 0.7 ≈ 0.0756.

5. P(X = 4) - все четыре покупателя сделали покупку: P(X = 4) = C(4, 4) * 0.3^4 * (1 - 0.3)^0 = 1 * 0.0081 * 1 ≈ 0.0081.

Теперь у нас есть полный закон распределения ДСВ X:

X | P(X)

0 | 0.4096 1 | 0.4116 2 | 0.2646 3 | 0.0756 4 | 0.0081

Теперь мы можем найти числовые характеристики этой ДСВ:

1. Математическое ожидание (среднее): E(X) = Σ(X * P(X)) = 0 * 0.4096 + 1 * 0.4116 + 2 * 0.2646 + 3 * 0.0756 + 4 * 0.0081 ≈ 1.2322.

2. Дисперсия: Var(X) = Σ((X - E(X))^2 * P(X)) = (0 - 1.2322)^2 * 0.4096 + (1 - 1.2322)^2 * 0.4116 + (2 - 1.2322)^2 * 0.2646 + (3 - 1.2322)^2 * 0.0756 + (4 - 1.2322)^2 * 0.0081 ≈ 0.7922.

3. Стандартное отклонение: σ(X) = √Var(X) ≈ √0.7922 ≈ 0.8910.

Таким образом, закон распределения ДСВ X - это:

X | P(X)

0 | 0.4096 1 | 0.4116 2 | 0.2646 3 | 0.0756 4 | 0.0081

И числовые характеристики: Математическое ожидание: E(X) ≈ 1.2322 Дисперсия: Var(X) ≈ 0.7922 Стандартное отклонение: σ(X) ≈ 0.8910.