Question

Дифференциальное уравнение. СРОЧНО!!!y'=2^(x-y)С пошаговым решением, пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

$y' = {2}^{x - y} \\ \frac{dy}{dx} = {2}^{x} \times {2}^{ - y} \\ \int\limits \frac{dy}{ {2}^{ - y} } = \int\limits {2}^{x} dx \\ \int\limits{2}^{y} dy =\int\limits {2}^{x} dx \\ \frac{ {2}^{y} }{ ln(2) } = \frac{ {2}^{x} }{ ln(2) } + C \\ {2}^{y} = {2}^{x} + C ln(2) \\ {2}^{y} = {2}^{x} + C$

общее решение

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение шаг за шагом.

У вас есть дифференциальное уравнение:

dy/dx = 2^(x - y)

Давайте начнем с разделения переменных, чтобы выразить y и x на разные стороны уравнения:

dy / (2^(x - y)) = dx

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны этого уравнения. Начнем с левой стороны:

∫(1 / 2^(x - y)) dy

Для удобства введем новую переменную z = x - y, тогда dz = dx - dy, и мы можем переписать наше уравнение:

∫(1 / 2^z) dy = ∫dz

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / 2^z) dy = ∫dz

Левая сторона уравнения представляет собой интеграл по переменной y, а правая сторона - интеграл по переменной z. Мы можем интегрировать каждую из них:

∫(1 / 2^z) dy = z + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь у нас есть:

z + C1 = ∫dz

Интегрирование ∫dz дает нам просто z:

z + C1 = z + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь у нас есть:

z + C1 = z + C2

C1 и C2 - произвольные константы. Теперь давайте вернемся к выражению z = x - y, которое мы ввели ранее:

x - y + C1 = x - y + C2

Теперь давайте выразим y:

y = x - (C2 - C1)

C2 - C1 также является произвольной константой, которую мы можем обозначить как C:

y = x - C

Итак, решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = x - C

Где C - произвольная постоянная.