Question

Оля нарисовала на плоскости N различных прямых, любые две из которых пересекаются. Оказалось, что среди любых 18 прямых обязательно найдутся две, угол между которыми равен 60∘. При каком наибольшем N такое возможно?​

Answer 1

Ответ:

51

Пошаговое объяснение:

Из условия вытекает, что если задаться целью выбрать только те прямые, которые пересекаются под углом не равным 60-ти градусам, то набрать удастся не более 17-ти. Любая 18-я составит угол 60гр с одной из уже выбранных.

Следовательно, каждая из оставшихся составляет угол 60 градусов. с одной из этих 17-ти.

К любой прямой можно провести не более двух других пересекающих её под углом 60 градусов прямых, пересекающихся между собой. Остальные будут параллельны уже проведённым.

Таким образом наибольшее возможное значение N = 17 x 3 = 51.

Answer 2

Ого, математическая головоломка! Ну что ж, давай разбираться. Посмотрим, как можно расставить прямые так, чтобы угол между любыми двумя из них был 60∘.

Для этого давай представим себе шестигранник (правильный, конечно). Мы можем провести диагонали шестигранника так, чтобы они стали нашими прямыми. Угол между любыми двумя диагоналями в правильном шестиграннике действительно равен 60∘. Итак, у нас есть 9 диагоналей (6 вершин, каждая соединяется с каждой, но не соединяется с соседними), и у нас выполняется условие задачи.

Таким образом, наибольшее возможное N равно 9. Круто, правда?