Question

Помогите решить неравенство)) log2 (x^2 - x - 12) < 3

Answer 1

Log₂(x²-x-12)<3,      3=log₂2³=log₂8

log₂(x²-x-12)<log₂8

основание логарифма a=2, 2>1 знак неравенства не меняем

{x²-x-12<8      {x²-x-20<0  (1)
 x²-x-12>0       x²-x-12>0   (2)

(1).   x²-x-20<0 метод интервалов:
1. x²-x-20=0.  D=81. x₁=5, x₂=-4
2. 
     +             -               +
--------(-4)--------(5)------------>x
3.  x∈(-4;5)

(2).   x²-x-12>0 метод интервалов:
1. x²-x-12=0. D=49. x₁=-3, x₂=4
2. 
        +               -              +
-----------(-3)---------(4)----------------->x
x∈(-∞;-3)U(4;∞)

решение системы неравенств:
          \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ 
------(-4)-----(-3)---------(4)-------(5)----------->x
 / / / / / / / / /  / /                         /  / / / / / / / / / / / /
ответ:  x∈(-4;-3)U(4;5)

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы должны следовать нескольким шагам. Начнем с того, что перепишем неравенство в эквивалентной форме без логарифма:

log2(x^2 - x - 12) < 3

Первым шагом будет избавиться от логарифма, используя свойство логарифма:

2^(log2(x^2 - x - 12)) < 2^3

Теперь мы можем упростить выражение:

x^2 - x - 12 < 8

Далее, приведем неравенство к квадратному уравнению:

x^2 - x - 12 - 8 < 0

x^2 - x - 20 < 0

Теперь, чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать метод интервалов или график функции. Давайте воспользуемся методом интервалов.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения

Для этого нам нужно решить уравнение:

x^2 - x - 20 = 0

Мы можем факторизовать это уравнение или использовать квадратное уравнение. Факторизуем его:

(x - 5)(x + 4) = 0

Отсюда получаем два корня:

x - 5 = 0 => x = 5

x + 4 = 0 => x = -4

Шаг 2: Построим интервальную линию

Теперь мы построим интервальную линию, на которой отметим найденные нами корни:

-4 5

Шаг 3: Выберем значения внутри и снаружи интервалов

Теперь выберем значения внутри и снаружи интервалов, чтобы определить знак многочлена.

Выберем значение внутри интервала (-∞, -4), например, x = -5:

(-5)^2 - (-5) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 > 0

Выберем значение между интервалами (-4, 5), например, x = 0:

0^2 - 0 - 20 = -20 < 0

Выберем значение внутри интервала (5, +∞), например, x = 6:

6^2 - 6 - 20 = 16 > 0

Шаг 4: Определение знака многочлена

Теперь, исходя из полученных значений, мы можем определить знак многочлена на каждом интервале:

(-∞, -4): +

(-4, 5): -

(5, +∞): +

Шаг 5: Определение решения неравенства

Теперь мы можем определить решение исходного неравенства, исходя из знаков многочлена:

(-∞, -4) U (5, +∞)

То есть, решением исходного неравенства log2(x^2 - x - 12) < 3 является множество всех значений x, которые находятся в интервале (-∞, -4) U (5, +∞).