Question

Интеграл от функции у=arcsinx как найти??????????

Answer 1

Відповідь:

Проинтегрируем по частям, используя формулу

∫

u

d

v

=

u

v

−

∫

v

d

u

, где

u

=

arcsin

(

x

)

и

d

v

=

1

.

arcsin

(

x

)

x

−

∫

x

1

√

1

−

x

2

d

x

Объединим

x

и

1

√

1

−

x

2

.

arcsin

(

x

)

x

−

∫

x

√

1

−

x

2

d

x

Пусть

u

=

1

−

x

2

. Тогда

d

u

=

−

2

x

d

x

, следовательно

−

1

2

d

u

=

x

d

x

. Перепишем, используя

u

и

d

u

.

Нажмите для увеличения количества этапов...

arcsin

(

x

)

x

−

∫

1

√

u

⋅

1

−

2

d

u

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

arcsin

(

x

)

x

−

∫

−

1

2

√

u

d

u

Поскольку

−

1

— константа по отношению к

u

, вынесем

−

1

из-под знака интеграла.

arcsin

(

x

)

x

−

−

∫

1

2

√

u

d

u

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

arcsin

(

x

)

x

+

∫

1

2

√

u

d

u

Поскольку

1

2

— константа по отношению к

u

, вынесем

1

2

из-под знака интеграла.

arcsin

(

x

)

x

+

1

2

∫

1

√

u

d

u

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

arcsin

(

x

)

x

+

1

2

∫

u

−

1

2

d

u

По правилу степени интеграл

u

−

1

2

по

u

имеет вид

2

u

1

2

.

arcsin

(

x

)

x

+

1

2

(

2

u

1

2

+

C

)

Перепишем

arcsin

(

x

)

x

+

1

2

(

2

u

1

2

+

C

)

в виде

arcsin

(

x

)

x

+

u

1

2

+

C

.

arcsin

(

x

)

x

+

u

1

2

+

C

Заменим все вхождения

u

на

1

−

x

2

.

arcsin

(

x

)

x

+

(

1

−

x

2

)

1

2

+

C

Покрокове пояснення:

Answer 2

Интеграл от функции y = arcsin(x) может быть найден с использованием методов интегрирования. Вот шаги для вычисления этого интеграла:

1. Используйте интегрирование по частям. Для этого выберите две функции u и dv, такие что:

   • u = arcsin(x)
   • dv = dx

2. Вычислите производные этих функций:

   • du = (1/sqrt(1 - x^2)) dx
   • v = x

3. Теперь примените формулу интегрирования по частям: ∫arcsin(x) dx = u*v - ∫v du

4. Подставьте значения u, v, du и v в формулу: ∫arcsin(x) dx = arcsin(x) * x - ∫x * (1/sqrt(1 - x^2)) dx

5. Теперь вы можете интегрировать оставшуюся часть: ∫x * (1/sqrt(1 - x^2)) dx

Этот интеграл можно решить с помощью замены переменной. Пусть t = 1 - x^2, тогда dt = -2x dx. Выразите dx из этой замены и подставьте в интеграл:

∫x * (1/sqrt(1 - x^2)) dx = -1/2 ∫(1/sqrt(t)) dt

Теперь проинтегрируйте это новое выражение: -1/2 ∫(1/sqrt(t)) dt = -1/2 * 2 * sqrt(t) + C = -sqrt(t) + C

6. Подставьте обратно выражение для t: -sqrt(t) + C = -sqrt(1 - x^2) + C

Теперь вы можете объединить результаты из шагов 3 и 6: ∫arcsin(x) dx = arcsin(x) * x + sqrt(1 - x^2) + C

Где C - это постоянная интегрирования.