Question

Исследовать функцию на монотонность y=x3-27x

Answer 1

Ответ:

Критические точки

x^3-27x=0

x(x^2-27)=0

х2=+- 3V3

кубическая гипербола

x = 3 нуль функции,

функция не имеет экстремумов, точкой перегиба является

точка (0;-27)

Функция монотонно возрастает на всей оси

Answer 2

Для исследования функции на монотонность, нам нужно определить её производную и проанализировать знак этой производной на различных интервалах значений x.

Исходная функция: y = x^3 - 27x

1. Найдем производную функции y по x: y' = 3x^2 - 27

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 27 = 0

   Решая уравнение: 3x^2 = 27 x^2 = 9 x = ±3

Итак, у нас есть две критические точки: x = -3 и x = 3.

Теперь мы можем провести анализ знака производной на интервалах между и после критических точек:

1. Когда x < -3: Подставим x = -4 в производную: y'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 (положительное значение)

2. Когда -3 < x < 3: Подставим x = 0 в производную: y'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 (отрицательное значение)

3. Когда x > 3: Подставим x = 4 в производную: y'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 (положительное значение)

Исходя из знака производной на каждом из этих интервалов, мы можем сделать следующие выводы:

• На интервале (-∞, -3), производная положительна, что означает, что функция возрастает.
• В окрестности точки x = -3, производная становится отрицательной, следовательно, функция убывает.
• На интервале (-3, 3), производная отрицательна, что означает, что функция убывает.
• В окрестности точки x = 3, производная становится положительной, следовательно, функция возрастает.
• На интервале (3, +∞), производная положительна, что означает, что функция возрастает.

Итак, функция y = x^3 - 27x монотонно убывает на интервале (-∞, -3) и монотонно возрастает на интервалах (-3, 3) и (3, +∞).