Question

Минимизация выражения Какое наименьшее значение может принимать выражение 4x^2*y +x^2+y^2-2*x*y+x+y+1при действительных числах хиу?

Answer 1

Дана функция z = 4*x^2*y+x^2+y^2-2*x*y+x+y+1.

Полное решение дано во вложении.

1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.

8*x*y+2*x-2*y+1 = 0

4*x2-2*x+2*y+1 = 0

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

или

Откуда y = -0.7089

Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x = 0.6586

Количество критических точек равно 1.

M1(0.6586;-0.7089)

3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).

Вычисляем значения для точки M1(0.6586;-0.7089).

AC - B² = -18.03 < 0, то глобального экстремума нет.

Вывод: Глобального экстремума нет.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения данного выражения, можно воспользоваться методом завершения квадрата (completing the square).

Выражение, которое нужно минимизировать, имеет следующий вид:

4x^2*y + x^2 + y^2 - 2xy + x + y + 1

Теперь давайте попробуем переписать его в квадратичной форме, чтобы выделить полный квадрат:

(4x^2*y + x^2 - 2xy) + (y^2 + x + y + 1)

Давайте сначала рассмотрим выражение внутри первой пары скобок:

4x^2*y + x^2 - 2xy

Чтобы завершить квадрат, нам нужно добавить и вычесть (xy)^2, то есть x^2*y^2:

4x^2y + x^2 - 2xy + x^2y^2 - x^2*y^2

Теперь мы можем сгруппировать первые четыре члена и записать их в виде квадрата:

(x^2y^2) + (4x^2y - 2xy + x^2)

Теперь перейдем ко второй паре скобок:

y^2 + x + y + 1

Для завершения квадрата добавим и вычтем (1/4)^2 = 1/16 внутри скобок:

y^2 + x + y + 1 + 1/16 - 1/16

Теперь мы можем сгруппировать последние четыре члена и записать их в виде квадрата:

(y^2 + y + 1/16) + (x + 1 - 1/16)

Теперь у нас есть два квадратных выражения:

(x^2y^2 + 4x^2y - 2xy + x^2) + (y^2 + y + 1/16) + (x + 1 - 1/16)

Теперь мы можем записать исходное выражение как сумму двух квадратов и константы:

(x^2y^2 + 4x^2y - 2xy + x^2) + (y^2 + y + 1/16) + (x + 1 - 1/16)

Теперь мы видим, что минимум достигается, когда оба квадратных выражения равны нулю, а константа равна 1/16:

x^2y^2 + 4x^2y - 2xy + x^2 = 0 y^2 + y + 1/16 = 0

Решим первое уравнение:

x^2y^2 + 4x^2y - 2xy + x^2 = x^2(y^2 + 4y - 2) + x^2 = 0

Теперь решим второе уравнение:

y^2 + y + 1/16 = 0

Оба уравнения можно решить численно, чтобы найти значения переменных x и y, которые минимизируют исходное выражение.