Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО!!! какое наименьшее значение может принимать выражение:х²у²+х²+у²-2ху+2х+2у+4при действительных числах х и y? ​

Answer 1

х²у² + х² + у² - 2ху + 2х + 2у + 4 = х²у² - 2ху + 1 + x² + 2х + 1 + y² + 2у + 1 + 1 = (xy - 1)² + (x + 1)² + (y + 1)² + 1 = ........

квадраты всегда неотрицательны

наименьшее когда квадраты = 0

x + 1 = 0

y + 1 = 0

xy - 1 = 0

x = -1

y = -1

да xy - 1 = (-1)*(-1) - 1 = 0

....... =  (xy - 1)² + (x + 1)² + (y + 1)² + 1 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1

наименьшее значение 1

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения, нужно применить метод дифференциального исчисления.

Исходное выражение: х²у² + х² + у² - 2ху + 2х + 2у + 4

Для начала, продифференцируем данное выражение по переменным x и y:

∂(х²у² + х² + у² - 2ху + 2х + 2у + 4) / ∂х = 2ху² + 2х - 2у + 2

∂(х²у² + х² + у² - 2ху + 2х + 2у + 4) / ∂y = 2ух² - 2х + 2у + 2

Затем приравняем каждую из производных к нулю и решим полученные уравнения:

2ху² + 2х - 2у + 2 = 0 2ух² - 2х + 2у + 2 = 0

Раскроем скобки:

2ху² + 2х - 2у + 2 = 0 2ух² - 2х + 2у + 2 = 0 ------------- уравнение 1: 2ху² + 2х - 2у = -2 уравнение 2: 2ух² - 2х + 2у = -2

Методом исключения переменных у нас получается следующая система уравнений: уравнение 1: 2ху² + 2х - 2у = -2 уравнение 2: ху² - у + ух² - х = -1

Преобразуем уравнение 2:

ху² + ух² + 2у - х = -1 х(у² + 1) + у(х² + 2) = -1 х(у² + 1) = -у(х² + 2) - 1

Подставим это выражение в уравнение 1:

2(-у(х² + 2) - 1) + 2х - 2у = -2 -2ух² - 4у - 2 + 2х - 2у = -2 -2ух² + 2х - 6у = 0 2ух² - 2х + 6у = 0 ух² - х + 3у = 0

Полученная система является линейной, которую мы можем решить методом исключения.

уравнение 1: ух² - х + 3у = 0 уравнение 2: ху² + 2х - 2у = 2

1) Умножим уравнение 1 на 2:

2ух² - 2х + 6у = 0

2) Прибавим это выражение к уравнению 2:

2ух² + 2х - 2у + ху² + 2х - 2у = 2 ух² + 4х - 4у = 2 ух² + 2х - 2у = 1

Таким образом, получаем новую систему уравнений:

ух² - х + 3у = 0 ух² + 2х - 2у = 1

Решим полученную систему методом исключения.

1) Умножим уравнение 1 на 2:

2ух² - 2х + 6у = 0

2) Прибавим это выражение к уравнению 2:

ух² + 4х - 4у = 1 ух² + 2х - 2у = 1

Для упрощения выражений, поделим первое уравнение на 2:

ух² - х + 3у = 0 ух² + 2х - 2у = 1

Причтем уравнения между собой:

(ух² - х + 3у) - (ух² + 2х - 2у) = 0 - 1 -3х + 5у = -1

Таким образом, у нас есть система двух уравнений:

ух² - х + 3у = 0 -3х + 5у = -1

Теперь решим данную систему методом исключения.

1) Умножим первое уравнение на 3:

3ух² - 3х + 9у = 0

2) Прибавим это выражение ко второму уравнению:

3ух² - 3х + 9у - 3х + 5у = 0 - 1 3ух² - 6х + 14у = -1

Теперь мы имеем новую систему уравнений:

ух² - х + 3у = 0 3ух² - 6х + 14у = -1

Теперь можно решить эту систему методом исключения.

1) Умножим первое уравнение на 3:

3ух² - 3х + 9у = 0

2) Прибавим это выражение ко второму уравнению:

3ух² - 3х + 9у - 3х + 5у = 0 - 1 3ух² - 6х + 14у = -1

Теперь мы имеем новую систему уравнений:

ух² - х + 3у = 0 3ух² - 6х + 14у = -1

Можно заметить, что первое уравнение является линейным, а второе - квадратичным. Таким образом, систему можно решить методом подстановки.

Выразим x из первого уравнения:

x = у - 3у²

Подставим значение x во второе уравнение:

3у(у - 3у²)² - 6(у - 3у²) + 14у = -1

Раскроем скобки и упростим уравнение:

3у(у² - 6у³ + 9у⁴) - 6у + 18у² + 14у = -1

3у³ - 18у⁴ + 27у⁵ - 6у + 18у² + 14у + 1 = 0

Упростим уравнение:

27у⁵ - 18у⁴ + 18у² + 8у - 1 = 0

Теперь мы получили уравнение, в котором мы можем найти значения у используя численные методы, например, метод бисекции или метод Ньютона.

К сожалению, я не могу продолжить решение численными методами в данной платформе.