Question

1 Найдите площадь кривой линии трапеции, ограниченный данными линиями y=(x-1)в квадрате у=3. у=1 со постороннием графика ​

Answer 1

Ответ:

Шаг 1: находим координаты х точек перечечения графиков y=x^2+1 и y=-x+3.

x^2+1 = -x+3; x^2+x-2 = 0; x1 = -2; x2 = 1.

Шаг 2: Находим определенный интеграл функции y = -x+3 в пределах от -2 до 1.

Первообразная этой функции будет Y = -1/2*x^2 + 3x + С

Подставляя пределы интегрирования получаем площадь под функцией S1 = -1/2 + 3 + 2 + 6 = 10,5.

Шаг 3: Находим определенный интеграл функции y = x^2+1 в пределах от -2 до 1.

Первообразная этой функции будет Y = 1/3*x^3 + x + С

Подставляя пределы интегрирования получаем площадь под функцией S2 = 1/3 + 1 + 8/3 +2 = 6.

Шаг 4: S = S1-S2; S = 10,5-6; S = 4,5.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь области, ограниченной данными линиями и графиком функции $y = (x - 1)^2$ на отрезке между $y = 1$ и $y = 3$, мы можем воспользоваться интегралом. Площадь этой области можно найти следующим образом:

1. Сначала найдем точки пересечения графика $y = (x - 1)^2$ с горизонтальными линиями $y = 1$ и $y = 3$. Эти точки будут представлять собой границы интегрирования.

Для $y = 1$: $(x - 1)^2 = 1$ Решая это уравнение, получим два решения: $x = 0$ и $x = 2$.

Для $y = 3$: $(x - 1)^2 = 3$ Решая это уравнение, получим два решения: $x = 1 - \sqrt{3}$ и $x = 1 + \sqrt{3}$.

2. Теперь, чтобы найти площадь, интегрируем разность функций $y = 3$ и $y = (x - 1)^2$ от $x = 0$ до $x = 2$ и от $x = 1 - \sqrt{3}$ до $x = 1 + \sqrt{3}$. Формула для расчета площади будет следующей:

$S = \int_{0}^{2} (3 - (x - 1)^2) \, dx + \int_{1 - \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} ((x - 1)^2 - 3) \, dx$

3. Вычисляем интегралы:

$$\begin{align*} \int_{0}^{2} (3 - (x - 1)^2) \, dx &= \left[3x - \frac{(x - 1)^3}{3}\right]_0^2 \\ &= \left[3(2) - \frac{(2 - 1)^3}{3} - \left(3(0) - \frac{(0 - 1)^3}{3}\right)\right] \\ &= \left[6 - \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)\right] \\ &= 6 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \\ &= 6. \end{align*}$$

$$\begin{align*} \int_{1 - \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} ((x - 1)^2 - 3) \, dx &= \left[\frac{(x - 1)^3}{3} - 3x\right]_{1 - \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} \\ &= \left[\frac{((1 + \sqrt{3}) - 1)^3}{3} - 3(1 + \sqrt{3})\right] - \left[\frac{((1 - \sqrt{3}) - 1)^3}{3} - 3(1 - \sqrt{3})\right] \\ &= \left[\frac{\sqrt{3}^3}{3} - 3(1 + \sqrt{3})\right] - \left[\frac{-\sqrt{3}^3}{3} + 3(1 - \sqrt{3})\right] \\ &= \left[\frac{3\sqrt{3}}{3} - 3(1 + \sqrt{3})\right] - \left[-\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3(1 - \sqrt{3})\right] \\ &= \left[\sqrt{3} - 3 - 3\sqrt{3}\right] - \left[-\sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3}\right] \\ &= -3\sqrt{3} - 3 + \sqrt{3} + 3 \\ &= -2\sqrt{3}. \end{align*}$$