Question

3. Василий решил вновь испытать судьбу и утверждает, что нашел 3 натуральных числа, попарные суммы которых равны 2017, 2018, 2019. Что за числа могли быть у Василия (найдите все варианты)? (обратите внимание, что просто подобрать какой-то ответ - мало!).​

Answer 1

Пусть эти числа а,b, c, тогда

{a+b=2017 (1)

{b+c=2018 (2)

{c+a=2019 (3)

из (1) найдем

b=2017-a

подставим во (2)

2017-а+с=2018

с-а=1 (4)

сложим (4) с (3)

с+а=2019

получим:

с-а+с+а=2020

2с=2020

с=1010

из (4) найдем

а=c-1 =1009

из (1)

b=2017-a=2017-1009=1008

другого решения нет, так как у нас линейная система (1)(2)(3) из 3 уравнений с тремя неизвестными .

ответ : эти числа 1008, 1009,1010

Answer 2

Для поиска натуральных чисел, удовлетворяющих заданным попарным суммам, можно воспользоваться следующим методом:

Пусть x, y и z - искомые натуральные числа. У нас есть три уравнения на их суммы:

1. x + y = 2017
2. x + z = 2018
3. y + z = 2019

Из этих уравнений можно выразить x, y и z через некоторые переменные и приступить к поиску натуральных чисел.

1. Из уравнения (1) следует, что x = 2017 - y.
2. Подставив x из уравнения (1) в уравнение (2), получаем: 2017 - y + z = 2018. Отсюда z = y + 1.
3. Подставив z из уравнения (2) в уравнение (3), получаем: y + y + 1 = 2019. Отсюда y = 1009, а z = 1010, x = 1008.

Таким образом, возможное решение:

• x = 1008
• y = 1009
• z = 1010

Также можно заметить, что все три числа равны (2017 + 1) / 2, то есть 1009. Поэтому возможное решение:

• x = 1009
• y = 1009
• z = 1009

Это единственные два возможных набора натуральных чисел, удовлетворяющих условиям задачи.