Question

Для натурального числа произведение 1⋅2⋅3⋅…•a обозначается как ! 1)Найдите наименьшее натуральное число такое, что ! делится на 29 2) Найдите наименьшее натуральное число такое, что ! делится на 69

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)Найдите наименьшее натуральное число

такое, что к! делится на 29

посмкольку 29 -простое число,минимальное число,факториал которого делится на 29  это    29!

2) Найдите наименьшее натуральное число  такое, что к!

делится на 69=3*23 ,где 23 -простое число.Значит на 69 будет делиться 23! (сомножитель 3 уже внутри произведения,а простое 23 -последнее)

Answer 2

Для решения этих задач, нам нужно найти наименьшие натуральные числа $a$, такие что $a!$ делится на 29 и 69.

1. Найдем наименьшее натуральное число $a$, такое что $a!$ делится на 29:

   Мы знаем, что $a!$ обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до $a$. Таким образом, $a! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot a$.

   Для того чтобы $a!$ делилось на 29, необходимо и достаточно, чтобы в этом произведении содержался множитель 29. Мы также можем учесть, что все числа, большие или равные 29, уже содержат множитель 29.

   Таким образом, чтобы найти наименьшее такое $a$, мы можем проверить числа от 1 до 29. Мы видим, что $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$, и это число делится на 29. Поэтому наименьшее натуральное число $a$, такое что $a!$ делится на 29, равно 5.

2. Теперь найдем наименьшее натуральное число $a$, такое что $a!$ делится на 69:

   Аналогично предыдущей задаче, нам нужно найти такое $a$, чтобы в $a!$ содержался множитель 69. Мы также знаем, что $69 = 3 \cdot 23$, поэтому необходимо, чтобы $a!$ содержало как минимум одно число, кратное 3, и одно число, кратное 23.

   Давайте начнем с проверки кратных 3. Наименьшее натуральное число, кратное 3, равно 3. Таким образом, $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ содержит множитель 3.

   Теперь проверим кратные 23. Наименьшее натуральное число, кратное 23, равно 23. Однако, $23! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 23$ является очень большим числом, и его разложение не является практическим способом для нахождения наименьшего такого $a$. Так что давайте проверим $46!$, так как $46$ содержит два множителя 23.

   Мы видим, что $46! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 46$ также является большим числом, но он точно содержит два множителя 23.

   Поэтому наименьшее натуральное число $a$, такое что $a!$ делится на 69, равно 46.