Question

Доказать, что если числа а, a+d, a+2d,..., a+(n–1)d целые и взаимно простые числа с n, то d и n не взаимно простые.

Answer 1

Пусть не так, и и числа n и d взаимно простые.

Покажем, что никакие 2 числа из $a, a+d, a+2d,..., a+(n-1)d$ не могут давать одинаковые остатки от деления на n.

Пусть не так, и $\exists k,l\in Z:a+kd\equiv a+ld \mod n; 0\leq k$.

Но тогда их разность $a+kd-(a+ld)=(k-l)d$ делится на n. Отсюда следует, с учетом взаимной простоты n и d, что $k-l$ делится на n. Но, нетрудно заметить, $k-l\leq n-1-0=n-1$ - противоречие.

Значит, числа $a, a+d, a+2d,..., a+(n-1)d$ дают различные остатки при делении на n. Но этих чисел ровно n - значит, среди них обязательно найдется число, дающее остаток 0 при делении на n. Противоречие с тем, что числа $a, a+d, a+2d,..., a+(n-1)d$ взаимно простые с n.

Это и означает, что числа n и d не взаимно простые.

Ч.т.д.

Answer 2

Давайте рассмотрим последовательность чисел:

a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d

По условию, все эти числа целые и взаимно простые с n. Теперь предположим, что d и n взаимно простые, и докажем, что это приведет к противоречию.

Давайте рассмотрим остатки этих чисел при делении на n. Мы получим следующую последовательность остатков:

a % n, (a + d) % n, (a + 2d) % n, ..., (a + (n - 1)d) % n

Поскольку a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d взаимно просты с n, остатки a % n, (a + d) % n, (a + 2d) % n, ..., (a + (n - 1)d) % n также должны быть взаимно простыми с n.

Теперь обратим внимание на эти остатки. Они лежат в интервале от 0 до n-1, так как остатки всегда меньше делителя (n) и не могут быть больше n-1. Теперь мы знаем, что они взаимно просты с n и лежат в интервале от 0 до n-1.

Поскольку остатки взаимно просты с n и лежат в интервале от 0 до n-1, это означает, что они образуют полный набор взаимно простых остатков по модулю n.

Однако это противоречит китайской теореме об остатках, которая гласит, что если у нас есть полный набор взаимно простых остатков по модулю n, то мы можем восстановить уникальное число в интервале от 0 до n-1, которое имеет такие остатки при делении на n. Это означает, что мы можем восстановить какое-то число k так, что a + kd делится на n без остатка.

Это противоречит начальному предположению, что все числа a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d взаимно просты с n, так как мы показали, что существует число k (не равное 0), для которого a + kd делится на n без остатка.

Таким образом, наше предположение о том, что d и n взаимно просты, было неверным. Следовательно, d и n не взаимно просты.