Question

Установите взаимно - однозначное соответствие между множествами [0;1] и (0,1]​

Answer 1

Выделим из [0;1] счетное множество $A=\{\dfrac{1}{2^n}\;|\;n\in N\}$ и обозначим $a_0=0;a_n=\dfrac{1}{2^n},n\in N$. При этом, нетрудно заметить, $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2},n\in N$.

Тогда построим отображение отрезка [0;1] на интервал (0;1]:

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\dfrac{1}{2},&x=0\\\dfrac{x}{2},&x\in A\\ x,&x\notin A\cup \{0\}\end{array}\right.$

Т.е. каждый из членов последовательности $\{a_k\}$ "превращается" в следующий за ним, а все остальные значения аргумента остаются неизменными.
Как видим, каждому элементу отрезка соответствует ровно один элемент интервала, и наоборот. Это и означает, что построенное отображение является взаимно-однозначным (но не единственным, в силу неоднозначности задания $f(x)$).

Answer 2

Для установления взаимно-однозначного соответствия между множествами [0;1] и (0,1], вы можете использовать следующее отображение (функцию):

Для x в [0, 1], отображение f(x) = x (0, 1], где f(x) - это элемент в (0, 1].

Это отображение взаимно-однозначное, так как оно берет любое значение x из [0, 1] и переводит его в соответствующее значение f(x) в (0, 1], и наоборот. В результате каждому элементу из [0, 1] будет сопоставлен уникальный элемент в (0, 1], и наоборот, что устанавливает взаимно-однозначное соответствие между этими двумя множествами.