Question

Докажите, что уравнение х^3-7у^3=2 не имеет решений в целых числах.

Answer 1

Достаточно рассмотреть остатки, которые могут давать кубы при делении на $7$: $1^{3}\equiv 1 \mod 7,\; 2^3\equiv 1\mod 7,\; 3^3\equiv 6 \mod 7,\; 4^3\equiv 1\mod 7,\\ 5^3 \equiv 6 \mod 7,\; 6^3\equiv 6 \mod 7$

Взяв уравнение по модулю $7$, получим $x^3 \equiv 2 \mod 7$, противоречие.

Answer 2

Для доказательства отсутствия решений уравнения x^3 - 7y^3 = 2 в целых числах, мы можем воспользоваться методом бесконечного спуска (infinite descent).

Допустим, у нас есть целочисленное решение этого уравнения, то есть пара (x, y), где x и y - целые числа, удовлетворяющая уравнению:

x^3 - 7y^3 = 2

Мы можем переписать это уравнение следующим образом:

x^3 = 7y^3 + 2

Теперь давайте рассмотрим это уравнение по модулю 7. Обратите внимание, что x^3 и 2 остаются сравнимыми по модулю 7. Таким образом, мы имеем:

x^3 ≡ 2 (mod 7)

Теперь давайте рассмотрим все возможные остатки кубов по модулю 7:

0^3 ≡ 0 (mod 7) 1^3 ≡ 1 (mod 7) 2^3 ≡ 1 (mod 7) 3^3 ≡ 6 (mod 7) 4^3 ≡ 1 (mod 7) 5^3 ≡ 6 (mod 7) 6^3 ≡ 6 (mod 7)

Здесь мы видим, что ни один из остатков кубов не равен 2 по модулю 7. Это означает, что уравнение x^3 ≡ 2 (mod 7) не имеет решений в целых числах.

Теперь вернемся к нашему уравнению x^3 - 7y^3 = 2. Мы знаем, что оно имеет решение (x, y) в целых числах. Однако мы только что показали, что x^3 не может быть равным 2 по модулю 7. Это означает, что исходное уравнение не может иметь целочисленных решений, так как это противоречит модульному анализу. Таким образом, уравнение x^3 - 7y^3 = 2 не имеет решений в целых числах.