Question

Докажите, что для любого натурального n существует натуральное число, которое больше своей суммы цифр в 11....11 раз. {↓} n

Answer 1

Л е м м а: Пусть $S(n)$ -- сумма цифр числа $n$. Тогда $S(\underbrace{99\ldots9}_{k}\cdot t) = S(\underbrace{99\ldots9}_{k}) = 9k$, если длина $t$ не превосходит $n$. Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.

Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число $\underbrace{99\ldots9}_{k}$ как $10^{k}-1$, а разность $t\cdot10^{k} - t$ считаем в столбик, учитывая перенос единицы.

Теперь пусть дано число $\underbrace{11\ldots1}_{n}$. Возьмем число $\underbrace{99\ldots9}_{n}$, тогда его частное с первым числом равно $9$. Умножим в таком случае $\underbrace{99\ldots9}_{n}$ на $n$. Длина числа $n$ меньше $n$ для всех $n$, кроме $1$ (что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме $\left[\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n\right]\div \underbrace{11\ldots1}_{n} = 9n = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}) = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n)$.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1). При n = 1 утверждение гласит, что существует натуральное число, которое больше своей суммы цифр в 11 раз. Давайте найдем такое число:

Пусть x = 12. Сумма цифр числа x равна 1 + 2 = 3, и 12 больше своей суммы цифр в 11 раз (12 / 3 = 4).

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что для некоторого натурального числа k существует натуральное число x, которое больше своей суммы цифр в 11...11 раз (где количество единиц в этом числе равно k).

Шаг 3: Индукционный переход. Докажем, что для k + 1 также существует натуральное число, которое больше своей суммы цифр в 11...11 раз (где количество единиц в этом числе равно k + 1).

Из предположения индукции мы знаем, что существует число x, которое больше своей суммы цифр в 11...11 раз, где количество единиц равно k. То есть:

x > (1 + 1 + 1 + ... + 1) * 11...11, где количество единиц равно k.

Мы можем записать это как:

x > k * 11...11.

Теперь давайте рассмотрим число y, которое будет равно 10^k + x. Сумма цифр числа y равна сумме цифр числа x и k единиц:

Сумма цифр числа y = Сумма цифр числа x + k = k + Сумма цифр числа x.

Теперь мы хотим доказать, что y > Сумма цифр числа y * 11...11, где количество единиц равно k + 1. Мы знаем, что x > k * 11...11, поэтому:

y > (k + Сумма цифр числа x) * 11...11 y > (k + k * 11...11) * 11...11 (подставляем сумму цифр числа x) y > k * (1 + 11...11) * 11...11 y > k * 10^k * 11...11 y > k * 11...11 (так как 10^k больше чем 1)

Таким образом, мы видим, что для числа y, равного 10^k + x, выполняется условие, что оно больше своей суммы цифр в 11...11 раз (где количество единиц равно k + 1).

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.