Question

Найти предел lim x->0 sin2x/arcsin3x

Answer 1

смотрите фото.................

Answer 2

Для нахождения предела lim(x -> 0) sin(2x)/arcsin(3x), мы можем воспользоваться правилом Лопиталя. Для этого нужно сначала вычислить пределы функций в числителе и знаменателе отдельно, а затем применить правило Лопиталя, если пределы в знаменателе стремятся к нулю.

1. Начнем с предела в числителе:

   lim(x -> 0) sin(2x) = 0.

2. Теперь вычислим предел в знаменателе:

   lim(x -> 0) arcsin(3x) = arcsin(0) = 0.

Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что arcsin(0) = 0.

3. Теперь мы можем применить правило Лопиталя, так как оба предела в числителе и знаменателе равны нулю:

   lim(x -> 0) sin(2x)/arcsin(3x) = lim(x -> 0) (d(sin(2x))/dx) / (d(arcsin(3x))/dx).

4. Вычислим производные числителя и знаменателя:

   d(sin(2x))/dx = 2cos(2x),

   d(arcsin(3x))/dx = 1/√(1 - (3x)^2) * 3 = 3/√(1 - 9x^2).

5. Теперь подставим производные в предел:

   lim(x -> 0) (2cos(2x)) / (3/√(1 - 9x^2)).

6. Выразим cos(2x) через cos(0) = 1:

   lim(x -> 0) (2 * 1) / (3/√(1 - 9x^2)).

7. Упростим выражение:

   lim(x -> 0) 2√(1 - 9x^2)/3.

8. Теперь подставим x = 0 в выражение:

   2√(1 - 9*0^2)/3 = 2√(1)/3 = 2/3.

Итак, предел lim(x -> 0) sin(2x)/arcsin(3x) равен 2/3.