Question

Найти частное решение дифференциального уравнения y’-y=y^3e^-x , y(0)=1

Answer 1

$\left\{\begin{array}{@{}l@{}} y'-y=y^3\cdot e^{-x},\\[8pt] y(0)=1\end{array}\right.$

Преобразуем ДУ и найдем общее решение:

$\displaystyle y'=y\left(y^2 e^{-x} +1\right),\\[10pt] \left(\ln y\right)'=y^2 e^{-x}+1,\\[10pt] \longrightarrow u(x)=\ln y(x)\implies y(x)=e^{u(x)},\\[10pt] u'=e^{2u-x}+1,\\[10pt] (u-x)' = e^{2u-x},\\[10pt] \longrightarrow u(x)-x=f(x)\implies u(x)=f(x)+x,\\[10pt] f'=e^{2f} e^{x},\\[10pt] \int e^{-2f}\,\mathrm{d}\big({-2f}\big)=-2\int e^{x}\,\mathrm{d} x,$

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}\ln\big| {-2 e^{x}} + C\big|,\\[10pt] u(x) = \ln\big|{-2 e^{x}} + C\big|^{-\frac{1}{2}}+x,\\[10pt] \boxed{y(x) =\frac{e^x}{\sqrt{C-2 e^x}}}$

Выделим частное решение (найдём константу):

$\displaystyle y(0)=1,\\[10pt] \frac{1}{\sqrt{C-2}} = 1 \implies C=3$

Ответ. $y(x)=\dfrac{e^x}{\sqrt{3-2e^x}}$

Answer 2

Давайте решим это дифференциальное уравнение.

Дано уравнение:

y' - y = y^3 * e^(-x)

Это неоднородное уравнение первого порядка. Для начала, найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y' - y = 0

Характеристическое уравнение имеет вид:

r - 1 = 0

Отсюда получаем r = 1. Общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = C * e^x, где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого воспользуемся методом вариации постоянной. Предположим, что решение имеет вид:

y_p(x) = A(x) * e^x

Тогда производная y_p(x) и подставим ее в исходное уравнение:

y'_p(x) = A'(x)e^x + A(x)e^x

Теперь подставим y_p(x) и y'_p(x) в исходное уравнение:

A'(x)e^x + A(x)e^x - A(x)e^x = (A'(x) + A(x))e^x - A(x)e^x = A'(x)e^x = y^3e^(-x)

A'(x) = y^3

Теперь решим это дифференциальное уравнение для A(x):

∫A'(x) dx = ∫y^3 dx

A(x) = ∫y^3 dx

Так как y_h(x) = C * e^x, а y(0) = 1, подставим начальное условие, чтобы найти значение постоянной C:

1 = C * e^0 C = 1

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y_p(x) = e^x * ∫y^3 dx

Теперь вам нужно вычислить интеграл ∫y^3 dx. Этот шаг может потребовать дополнительных методов интегрирования в зависимости от конкретной функции y(x).