Question

18. BE=BF, ACE=57°, BEF=66°, луч ЕС является биссектрисой угла AEF. Докажите, что EF |АС (рисунок 8).

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Существует много разных способов решить эту задачу. Например, можно воспользоваться теремой Чевы. Или рассмотреть симметрию относительно биссектрисы угла AED. Но мы постараемся сделать ее совсем простым способом.

Треугольники  ACE и DBE равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому равны углы EAC и EDB. И углы ACE и CBE равны. А тогда и смежные к ним углы ACD и DBA равны. Поэтому треугольники ABF и DCF равны по по стороне и двум углам. Что позволяет утверждать равенство отрезков BF  и CF. И, наконец, треугольники EBF и ECF равны по трем сторонам. Значит, равны углы BEF и CEF, что и означает, что EF - биссектриса угла  AED.

Answer 2

Для доказательства, что линия EF параллельна линии AC, мы можем использовать свойства углов.

Дано:

1. BE = BF (1)
2. ACE = 57° (2)
3. BEF = 66° (3)
4. Линия EC является биссектрисой угла AEF (4)

Для начала рассмотрим угол BFE и угол FCE. Мы знаем, что угол BFE = 66° (по (3)) и угол FCE = 1/2 * ACE = 1/2 * 57° = 28.5° (по (2) и (4)).

Теперь давайте рассмотрим угол EFB. У нас есть BE = BF (по (1)), и поскольку это боковая сторона треугольника EBF, то угол EFB также равен 66° (по свойству равных сторон в равнобедренном треугольнике).

Теперь мы имеем следующие данные:

1. Угол BFE = 66°
2. Угол FCE = 28.5°
3. Угол EFB = 66°

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: Угол BFE + Угол FCE + Угол EFB = 180° 66° + 28.5° + 66° = 180°

160.5° = 180°

Теперь у нас есть прямая линия EF, которая пересекает линии AC и BC, и сумма углов в точке F равна 180°. Это означает, что угол FCA = 180° - 160.5° = 19.5°.

Теперь рассмотрим треугольник ACE. У нас есть угол ACE = 57° и угол FCA = 19.5°.

Сумма углов в треугольнике ACE равна 180°, поэтому: Угол ACE + Угол FCA + Угол ECA = 180° 57° + 19.5° + Угол ECA = 180°

76.5° + Угол ECA = 180°

Угол ECA = 180° - 76.5° = 103.5°

Теперь обратим внимание на треугольник AEC. Угол ECA = 103.5°, а угол ACE = 57°.

Теперь мы видим, что угол ECA больше угла ACE, что означает, что сторона AC не может пересекать сторону EF внутри треугольника AEF. Таким образом, линия EF параллельна линии AC.