Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою y²=2x і прямою у=х

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y^2=2x\ \ \ \ y=x\ \ \ \ \ S=?\\x=\frac{y^2}{2} \ \ \ \ \ x=y\\\frac{y^2}{2}=y\ |*2\\ y^2=2y\\y^2-2y=0\\y*(y-2)=0\\y_1=0.\\y-2=0\\y_2=2.\ \ \ \ \Rightarrow\\S=\int\limits^2_0 {(y-\frac{y^2}{2}) } \, dy =(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{2*3})\ |_0^2=(\frac{y^2}{2} -\frac{y^3}{6})\ |_0^2=\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{6}-(\frac{0^2}{2}-\frac{0^3}{6})=\\ =\frac{4}{2} -\frac{8}{6} -0=2-\frac{4}{3}=2-1\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

Ответ: S≈0,66667 кв. ед.

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої параболою y² = 2x і прямою y = x, потрібно знайти точки їх перетину та побудувати інтеграл для обчислення площі між цими двома кривими. Давайте спочатку знайдемо точки перетину:

1. Підставимо рівняння прямої y = x у рівняння параболи: y² = 2x.
2. Отримаємо x² = 2x.
3. Перенесемо все в одну сторону і отримаємо квадратне рівняння: x² - 2x = 0.
4. Факторизуємо це рівняння: x(x - 2) = 0.
5. Розв'яжемо рівняння для x і отримаємо дві можливі точки перетину: x = 0 і x = 2.

Тепер ми знаємо, що точки перетину знаходяться в x = 0 і x = 2. Для знаходження площі фігури між цими кривими ми використовуємо інтеграл:

$S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx,$

де a і b - це абсциси точок перетину (у нашому випадку 0 і 2), а f(x) і g(x) - це функції, які визначають верхню та нижню межі фігури.

f(x) в нашому випадку - це парабола y² = 2x, тобто f(x) = √(2x) (ми беремо корінь квадратний, оскільки нам потрібна додатня величина). g(x) - це пряма y = x.

Тепер обчислимо інтеграл:

$S = \int_{0}^{2} |√(2x) - x| dx.$

Розділимо цей інтеграл на два окремих інтеграла, один з умовою √(2x) - x ≥ 0 інший з умовою √(2x) - x < 0.

Перший інтеграл: $S_1 = \int_{0}^{1} (√(2x) - x) dx.$

Другий інтеграл: $S_2 = \int_{1}^{2} (x - √(2x)) dx.$

Тепер обчислимо ці інтеграли:

$S_1 = \left[\frac{2}{3}(2x)^\frac{3}{2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}(2^\frac{3}{2} - 0) - \frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2},$

$S_2 = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{2}{3}(2x)^\frac{3}{2}\right]_1^2 = \frac{4}{2} - \frac{8\sqrt{2}}{3} - \left(\frac{1}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}\right) = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 1.$

Тепер додаймо ці два інтеграла разом, щоб отримати загальну площу фігури:

$S = S_1 + S_2 = \left(\frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{4\sqrt{2}}{3} - 1\right) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{3}{2}.$