Question

Сколькими способами можно выбрать 3 пары из 8 человек?​

Answer 1

Ответ: 420 способами  можно выбрать 3 пары из 8 человек

Пошаговое объяснение:


Первую  пару можно выбрать

$C_2^8 =\dfrac{8!}{6!\cdot 2!} =28$  способами

Вторую

$C_2^6 =\dfrac{6!}{4!\cdot 2!} =15$ способами

Третью

$C_2^4=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = 6$ способами

А общее кол-во способов  

$C_2^8\cdot C_2^6\cdot C^4_2$

Теперь учтем тот факт, что у пар на самом деле нет номеров. Так как у нас есть всего  3 пары , то существует 3!   способов пронумеровать пары . Таким образом, количество непронумерованных вариантов разбиения в  3!  раз меньше, чем количество пронумерованных вариантов разбиения.

В итоге число способов разбить 8 человек на 3 пары  без учета их номеров:

$\displaystyle \frac{C_2^8\cdot C_2^6\cdot C^4_2}{3!} =\dfrac{28\cdot 15\cdot 6 }{3!} =420$

Answer 2

Для выбора 3 пар из 8 человек, мы можем воспользоваться комбинаторной формулой для сочетаний без повторений:

C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)

Где: n - общее количество элементов (в данном случае, 8 человек). k - количество элементов, которые мы хотим выбрать (в данном случае, 3 пары).

Теперь подставим значения в формулу:

C(8, 3) = 8! / (3!(8 - 3)!)

C(8, 3) = 8! / (3! * 5!)

Рассчитаем факториалы:

8! = 8 * 7 * 6 * 5! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 3! = 3 * 2 * 1 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Теперь подставим значения факториалов:

C(8, 3) = (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (3 * 2 * 1 * (5 * 4 * 3 * 2 * 1))

Сокращаем:

C(8, 3) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1)

C(8, 3) = (336) / (6)

C(8, 3) = 56

Таким образом, можно выбрать 3 пары из 8 человек 56 способами.