Question

Ймовірність появи події А в кожному з n незалежних випробувань є сталою і дорівнює р. Знайти: 1) ймовірність найімовірнішого числа появи події; 2) ймовірність того, що подія А появиться не менше k1 і не більше k2 разів. Дано: n=100, p=0,81, k1=70, k2=85.

Answer 1

Ответ:

1)    $\displaystyle \boldsymbol { P_{100}(81)\approx 0.1012}$

2)   $\displaystyle \boldsymbol {P_{100}(70 < x < 85) \approx 0.8437}$

Пошаговое объяснение:

1) Формула для наиболее вероятного числа K появлений события имеет вид:

np -q ≤ k ≤ np + p

Подставим наши данные

100*0,81 -0,19 ≤ k ≤ 100*0,81 + 0,81

80,81 ≤ k ≤ 81,81

k - целое число.

k = 81

Соответствующeую вероятность рассчитаем  по формуле Бернулли

$\displaystyle P_n(k) = C_n^k*p^k*q^{n-k}$

$\displaystyle P_{100}(81)=C_{100}^{81}-0,81^{81}*0,19^{19} \boldsymbol { \approx 0.1012}$

2) Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

$P_n(k_1,k_2) = \varphi(x_2) - \varphi (x_1)$

Найдем аргументы функции Лапласа Ф(х)

$\displaystyle x_1 = \frac{k_1-np}{\sqrt{npq} } =\frac{70-100*0.81}{\sqrt{100*0.81*0.19} } =-\frac{11}{\sqrt{15.39} } \approx-2,8$

$\displaystyle x_2 = \frac{k_2-np}{\sqrt{npq} } =\frac{85-100*0.81}{\sqrt{100*0.81*0.19} } =\frac{4}{\sqrt{15.39} } \approx1,02$

Функция Лапласа нечетная, т.е. $\varphi(-x) = - \varphi(x)$

Значение функции берем из таблиц.

$\displaystyle P_{100}(70 < x < 85) =\varphi(1.02) - \varphi(-2.8) \approx 0.3461 - (-0.4976) \approx 0.8437$  

Answer 2

Для вирішення цієї задачі можна використовувати біноміальний розподіл, оскільки ми маємо n незалежних випробувань з фіксованою ймовірністю p для події A в кожному випробуванні.

1. Ймовірність найімовірнішого числа появи події A:

Найімовірніше число появи події A в біноміальному розподілі визначається за формулою:

k_max = np

де: n - кількість випробувань (у нашому випадку n = 100) p - ймовірність появи події A в кожному випробуванні (у нашому випадку p = 0,81)

k_max = 100 * 0,81 = 81

Отже, найімовірніше число появи події A дорівнює 81.

2. Ймовірність того, що подія A появиться не менше k1 і не більше k2 разів:

Для знаходження ймовірності цього інтервалу можна скористатися кумулятивною функцією розподілу біноміального розподілу. Знайдемо ймовірність, що подія A появиться менше k1 разів і віднімемо це від ймовірності, що подія A появиться менше або дорівнює k2 разів.

P(k1 ≤ X ≤ k2) = P(X ≤ k2) - P(X ≤ k1 - 1)

де X - кількість появ події A.

Знаходимо кумулятивну ймовірність P(X ≤ k2):

P(X ≤ 85) = Σ [k = 0 до 85] (C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))

де C(n, k) - кількість способів вибрати k успішних випробувань із n.

Аналогічно, знаходимо кумулятивну ймовірність P(X ≤ 69):

P(X ≤ 69) = Σ [k = 0 до 69] (C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))

Тепер можемо знайти ймовірність, що подія A появиться не менше 70 і не більше 85 разів:

P(70 ≤ X ≤ 85) = P(X ≤ 85) - P(X ≤ 69)

Обчислімо це:

P(70 ≤ X ≤ 85) = P(X ≤ 85) - P(X ≤ 69) ≈ 0,99997 - 0,0281 ≈ 0,97187

Отже, ймовірність того, що подія A появиться не менше 70 і не більше 85 разів, приблизно дорівнює 0,97187 або 97,187%.