Question

Знайти похідну функціїy=³√x/√x+1​

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Щоб знайти похідну функції $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x+1}}$, вам потрібно використовувати правила диференціювання. Давайте розглянемо цей процес крок за кроком.

Почнемо з функції: $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x+1}}$

Спершу розкриємо дріб: $y = x^{\frac{1}{3}}(x+1)^{-\frac{1}{2}}$

Тепер застосуємо правило диференціювання добутку. За цим правилом, похідна добутку функцій $u(x)v(x)$ рівна $u'v + uv'$, де $u'$ - похідна першої функції, $v'$ - похідна другої функції.

У нашому випадку, $u(x) = x^{\frac{1}{3}}$ і $v(x) = (x+1)^{-\frac{1}{2}}$, тому ми маємо: $u'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ $v'(x) = -\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{3}{2}}$

Тепер обчислимо похідні і підставимо їх у формулу для похідної добутку: $y' = u'v + uv' = \left(\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right)\left((x+1)^{-\frac{1}{2}}\right) + \left(x^{\frac{1}{3}}\right)\left(-\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{3}{2}}\right)$

Тепер можна спростити це вираз: $y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(x+1)^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}(x+1)^{-\frac{3}{2}}$

Отже, отримали похідну функції $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x+1}}$: $y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(x+1)^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}(x+1)^{-\frac{3}{2}}$