Question

Найти решение задачи Коши y"-2y'+y=-12cos2x-9sin2x, y(0)=-2, y'(0)=0​

Answer 1

Ответ:

думаю так правильно но не уверена

Answer 2

Для решения данной задачи Коши сначала найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

y'' - 2y' + y = 0

Это линейное однородное уравнение второго порядка, и его характеристическое уравнение выглядит так:

r^2 - 2r + 1 = 0

Для нахождения корней r решим это уравнение:

(r - 1)^2 = 0

r - 1 = 0

r = 1

У нас есть один корень, и он равен 1. Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = (C1 + C2x) * e^x

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения:

y'' - 2y' + y = -12cos(2x) - 9sin(2x)

Попробуем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = Acos(2x) + Bsin(2x)

Теперь найдем производные этой функции:

y_p'(x) = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x) y_p''(x) = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)

Теперь подставим эти производные в неоднородное уравнение и приравняем коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях:

-4Acos(2x) - 4Bsin(2x) - 2(-2Asin(2x) + 2Bcos(2x)) + (Acos(2x) + Bsin(2x)) = -12cos(2x) - 9sin(2x)

Теперь сгруппируем коэффициенты при синусах и косинусах:

(-4A - 2B + A)*cos(2x) + (-4B + 2A + B)*sin(2x) = -12cos(2x) - 9sin(2x)

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях:

-3Acos(2x) - 3Bsin(2x) = -12cos(2x) - 9sin(2x)

Теперь сравниваем коэффициенты при синусах и косинусах:

-3A = -12 (коэффициент при cos(2x)) -3B = -9 (коэффициент при sin(2x))

Решаем эти уравнения:

A = 4 B = 3

Теперь у нас есть частное решение:

y_p(x) = 4cos(2x) + 3sin(2x)

Теперь мы можем записать полное решение неоднородного уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = (C1 + C2x) * e^x + 4cos(2x) + 3sin(2x)

Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти константы C1 и C2:

y(0) = -2 -2 = (C1 + C20) * e^0 + 4cos(20) + 3sin(2*0)

-2 = C1 + 4

C1 = -2 - 4 C1 = -6

Теперь для второй начальной условии:

y'(0) = 0 0 = (C2 + C1) * e^0 + 4*(-2sin(0)) + 32*cos(0)

0 = (C2 - 6) * 1 - 8

C2 - 6 = 8

C2 = 8 + 6 C2 = 14

Итак, наши константы C1 и C2 равны:

C1 = -6 C2 = 14

И окончательное решение задачи Коши:

y(x) = (-6 + 14x) * e^x + 4cos(2x) + 3sin(2x)