Question

Обчисліть похідну функцію y=cos x + ctg x

Answer 1

Відповідь:

$y'=-sin(x)-\frac{1}{sin^2(x)}$

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для обчислення похідної функції y = cos(x) + ctg(x), спершу розкладемо ctg(x) на більш відомі функції, а саме:

ctg(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x).

Тепер можемо переписати функцію y:

y = cos(x) + cos(x)/sin(x).

Тепер обчислимо похідну цієї функції за допомогою правила суми:

y' = (cos(x))' + (cos(x)/sin(x))'

Для обчислення похідних кожного з компонентів правої сторони використовуємо відомі похідні:

(cos(x))' = -sin(x)

Для обчислення похідної другого компонента використовуємо правило ділення:

(cos(x)/sin(x))' = (cos(x))'(1/sin(x)) - (sin(x))'(cos(x)/sin^2(x))

Знаючи, що (cos(x))' = -sin(x) і (sin(x))' = cos(x), ми можемо продовжити:

(cos(x)/sin(x))' = (-sin(x))(1/sin(x)) - cos(x)(cos(x)/sin^2(x))

Тепер спростимо це вираз:

(cos(x)/sin(x))' = -1 - (cos^2(x)/sin^2(x))

Зараз ми можемо об'єднати результати:

y' = -sin(x) - 1 - (cos^2(x)/sin^2(x))

Це є похідною функції y = cos(x) + ctg(x).