Question

Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ABC=90∘, а ∠BAC=27∘. Точка M — середина стороны AC, точки K и L на прямых AB и BC соответственно таковы, что KA=KM и LC=LM. Найдите величину угла ∠KLC, ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ:

Величина угла ∠KLC равна 81°  

Примечание:

Формула приведения:

sin α = cos(90° - α)

Объяснение:

Дано: ∠ABC = 90°, ∠BAC = 27°, AM = MC, K ∈ AB, KA = KM, L ∈ BC,

LC = LM

Найти: ∠KLC - ?

Решение:

Рассмотрим треугольник ΔABC.

По теореме про сумму углов треугольника:

∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° ⇒ ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC =

= 180° - 90° - 27° = 90° - 27° = 63°.

Так как по условию AM = MC, LC = LM, то соответственно по определению треугольник ΔKAM и ΔLMC - равнобедренные, тогда по свойствам равнобедренных треугольников углы при основании равны, то есть:

• ∠BAC = ∠AMK = 27°
• ∠ACB = ∠CML = 63°

Углы ∠AMK, ∠KML, ∠CML образуют развернутый угол ∠AMC (по определению градусная мера развернутого угла равна 180°).

∠AMK + ∠KML + ∠CML = 180° ⇒ ∠KML = 180° - ∠AMK - ∠CML =

= 180° - 27° - 63° = 180° - 90° = 90°.

По теореме про сумму углов треугольника (ΔMLC) :

∠CML + ∠MCL + ∠MLC = 180° ⇒ ∠MLC = 180° - ∠CML - ∠MCL =

= 180° - 63° - 63° = 180° - 126° = 54°.

Рассмотрим треугольник ΔKAM и ΔLMC.

Опустим высоты на основания треугольников в точки F и E на отрезки AM,MC соответственно (F ∈ AM, E ∈ MC).

По теореме высота равнобедренного треугольника опущенная на основание является его биссектрисой и медианой, тогда так как по построению  KF,LE - высоты треугольников ΔKAM и ΔLMC, то KF,LE - медианы и биссектрисы соответствующих треугольников, следовательно AF = FM, ME = EC.

Так как по условию AM = MC, а также доказано, что AF = FM,ME = EC, следовательно AF = FM = ME = EC.

Пусть AF = a и так как AF = FM = ME = EC, то FM = ME = EC = a.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKFM (KF - высота по построению).

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

cos ∠FMK = FM / MK ⇒ MK = FM / cos ∠FMK = a / cos 27°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔLEM (LE - высота по построению).

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

cos ∠LME = ME / ML ⇒ ML = ME / cos ∠LME = a / cos 63°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKML (∠KML = 90°).

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

tg ∠MLK = MK / ML = (a / cos 27°) / (a / cos 63°) =

= (a / cos 27°) * (cos 63° / a) = cos 63° /  cos 27° = cos(90 - 63°) / cos 27° =

= sin 27° / cos 27° = tg 27°.

tg ∠MLK = tg 27° ⇒ ∠MLK = 27°.

∠KLC = ∠MLK + ∠MLC = 27° + 54° = 81°.

#SPJ1

Answer 2

Ответ:

Величина угла KLC равна 81°.

Пошаговое объяснение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ABC=90∘, а ∠BAC=27∘. Точка M — середина стороны AC, точки K и L на прямых AB и BC соответственно таковы, что KA = KM и LC = LM. Найдите величину угла ∠KLC.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

∠ABC = 90°; ∠BAC = 27°;

АМ = МС;

К ∈ АВ; L ∈ BC;

KA = KM; LC = LM.

Найти: ∠KLC

Решение:

1. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный;

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠С = 90° - ∠ВАС = 90° - 27° = 63°.

2. Проведем ВМ.

АМ = МС ⇒ ВМ - медиана;

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

⇒ ВМ = МС

3. Рассмотрим ΔМВС - равнобедренный.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠С = ∠МВС = 63°

4. ∠АВС = 90°

∠АВМ = 90° - ∠МВС = 90° - 63° = 27°

5. Рассмотрим ΔКLM.

ΔАКМ - равнобедренный (условие);

⇒ ∠ВАС = ∠КМА = 27°.

ΔМLC - равнобедренный (условие);

⇒ ∠С = ∠LMC = 63°.

⇒ ∠KML = 180° - (∠КМА + ∠LMC ) = 180° - (27° + 63°) = 90°

ΔКLM - прямоугольный.

6. Опишем окружность около ΔKLM.

Так как ΔКLM - прямоугольный.

• Прямой вписанный угол опирается на диаметр.

⇒ KL - диаметр описанной окружности.

ΔKLB - прямоугольный.

∠KBL - прямой ⇒ В ∈ Окр.О.

• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

⇒ ∠KLM = ∠KBM = 27°

7. Рассмотрим ΔMLC - равнобедренный.

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠MLC = 180° - (∠C + ∠LMC) = 180° - 126° = 54°

8. Найдем ∠KLC.

∠KLC = ∠KLM + ∠MLC = 27° + 54° = 81°

Величина угла KLC равна 81°.

#SPJ1

Answer 3

Для решения этой задачи, давайте начнем с построения треугольника ABC и точек M, K и L на нем. Затем мы найдем величину угла ∠KLC.

1. Постройте прямоугольный треугольник ABC, где ∠ABC = 90°, а ∠BAC = 27°.

2. Найдите середину стороны AC и обозначьте ее как точку M.

3. Теперь, поскольку KA = KM и LC = LM, мы знаем, что треугольники AKM и LCM равнобедренные треугольники.

4. Давайте найдем угол ∠KAM (он же ∠KAC), используя факт равнобедренности треугольника AKM. Угол ∠KAM равен половине угла ∠BAC, то есть (27°) / 2 = 13.5°.

5. Теперь мы можем найти угол ∠KLC, используя факт равнобедренности треугольника LCM. Угол ∠KLC равен двойному углу ∠KAM, то есть 2 * 13.5° = 27°.

Итак, величина угла ∠KLC составляет 27 градусов.