Question

З 60 випускників школи 4 учня одержали золоту медаль, і 5 – срібну. Яка ймовірність того, що з трьох навмання обраних випускніків один одержав золоту медаль, і один – срібну?

Answer 1

Ответ:

$\frac{51}{1711}$

Пошаговое объяснение:

Пусть у нас будут множества

ЗОЛ - золото

СЕР - серебро

ФИГ - нет медалкй

ВСЕ - все вместе.

Для выбора из всех выпускников тройки

1зол, 1сер, 1фиг,

можно считать эти множества непересекающимися. И тогда мы имеем:

4 элемента в {ЗОЛ}

5 элементов в {СЕР}

и 60 - 5 - 4 = 51 в {ФИГ}

Число элементов будет равно числу вариантов выбора 1 элемента из множества.

N1 = 4

N2 = 5

N3 = 51

Соответственно для общего числа "правильного" выбора 3-х элементов, эти числа перемножаются.

N = N1•N2•N3 = 4•5•51=20•51 = 1020

общее число выбора возможных троек из 60 учеников вычисляется так:

$C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}. \\ \\ \small{C_{60}^{3}} ={\frac {60!}{3{!}(60 {- 3})!}} = \frac{ \cancel{1 {\cdot}2{\cdot}3{\cdot}...57 \: }{\cdot}58{\cdot}59{\cdot}60}{1{\cdot}2{\cdot}3\cdot\cancel{1 {\cdot}2{\cdot}3{\cdot}...57 }} = \\ \small { = }\frac{58{\cdot}59{\cdot}60}{1{\cdot}2{\cdot}3} {=} \frac{58{\cdot}59{\cdot}60}{6} = 58{\cdot}59{\cdot}10 = 34 \: 220$

Искомая же вероятность Р будет равна отношению числа "правильных" вариантов троек к общему числу выбора возможных троек из 60 учеников.

$p = \fracNO NUMERIC NOISE KEY 1033no numeric noise key 1032^no numeric noise key 1031} = \fracNO NUMERIC NOISE KEY 1030no numeric noise key 1029 = \fracNO NUMERIC NOISE KEY 1028no numeric noise key 1027 = \fracNO NUMERIC NOISE KEY 1026no numeric noise key 1025$

Т.к. 51 = 3 • 17; 1711 = 29 • 59 => общих множителей нет => дробь более несократима.

Это и будет ответ:

Answer 2

Для знаходження ймовірності того, що з трьох навмання обраних випускників один одержав золоту медаль, і один – срібну, спершу розглянемо всі можливі комбінації вибору випускників:

1. Золота, Золота, Срібна
2. Золота, Срібна, Золота
3. Срібна, Золота, Золота

Для кожної з цих можливих комбінацій ми можемо обчислити ймовірність і потім їх складемо, так як це незалежні події. Щоб знайти ймовірність кожної події, ми використовуємо формулу для ймовірності:

Ймовірність події = (Кількість сприятливих варіантів) / (Загальна кількість варіантів)

1. Золота, Золота, Срібна:

   • Кількість сприятливих варіантів: 4 (перший випускник обрав золоту медаль) * 4 (другий випускник обрав золоту медаль) * 5 (третій випускник обрав срібну медаль)
   • Загальна кількість варіантів: 60 (загальна кількість випускників)
   • Ймовірність цієї комбінації: (4 * 4 * 5) / 60 = 80/60 = 4/3

2. Золота, Срібна, Золота:

   • Кількість сприятливих варіантів: 4 (перший випускник обрав золоту медаль) * 5 (другий випускник обрав срібну медаль) * 4 (третій випускник обрав золоту медаль)
   • Загальна кількість варіантів: 60
   • Ймовірність цієї комбінації: (4 * 5 * 4) / 60 = 80/60 = 4/3

3. Срібна, Золота, Золота:

   • Кількість сприятливих варіантів: 5 (перший випускник обрав срібну медаль) * 4 (другий випускник обрав золоту медаль) * 4 (третій випускник обрав золоту медаль)
   • Загальна кількість варіантів: 60
   • Ймовірність цієї комбінації: (5 * 4 * 4) / 60 = 80/60 = 4/3

Тепер додамо ці ймовірності, так як ці події не взаємовиключні:

(4/3 + 4/3 + 4/3) = (12/3) = 4

Отже, ймовірність того, що з трьох навмання обраних випускників один одержав золоту медаль, і один – срібну, дорівнює 4/60 або 1/15.