Question

Знайти інтеграл: інтергал e (в середні х) cos xdx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

∫e^(x)cosx dx=e^(x)*sinx+C

Answer 2

Щоб знайти інтеграл ∫e^(x/2) * cos(x) dx, можна використовувати інтегрування за частинами. Формула для інтегрування за частинами має вигляд:

∫u dv = uv - ∫v du,

де u і dv - це функції, які ми вибираємо для розбиття нашого інтегралу, а du і v - їхні похідні та інтеграли відповідно. Давайте виберемо:

u = e^(x/2) => du = (1/2) * e^(x/2) dx dv = cos(x) => v = ∫cos(x) dx = sin(x)

Тепер ми можемо застосувати формулу інтегрування за частинами:

∫e^(x/2) * cos(x) dx = u * v - ∫v * du ∫e^(x/2) * cos(x) dx = e^(x/2) * sin(x) - ∫sin(x) * (1/2) * e^(x/2) dx

Тепер ми можемо виконати інтеграл ∫sin(x) * (1/2) * e^(x/2) dx. Для цього можна використовувати інтегрування за частинами ще раз. Виберемо:

u = (1/2) * e^(x/2) => du = (1/4) * e^(x/2) dx dv = sin(x) => v = -cos(x)

Застосовуємо формулу інтегрування за частинами знову:

∫sin(x) * (1/2) * e^(x/2) dx = u * v - ∫v * du ∫sin(x) * (1/2) * e^(x/2) dx = (1/2) * e^(x/2) * (-cos(x)) - ∫(-cos(x)) * (1/4) * e^(x/2) dx

Тепер ми можемо розрахувати остаточний результат:

∫e^(x/2) * cos(x) dx = e^(x/2) * sin(x) - ((1/2) * e^(x/2) * (-cos(x)) - ∫(-cos(x)) * (1/4) * e^(x/2) dx) ∫e^(x/2) * cos(x) dx = e^(x/2) * sin(x) + (1/2) * e^(x/2) * cos(x) - (1/4) * ∫e^(x/2) * cos(x) dx

Тепер ми можемо вирішити рівняння відносно ∫e^(x/2) * cos(x) dx:

(5/4) * ∫e^(x/2) * cos(x) dx = e^(x/2) * sin(x) + (1/2) * e^(x/2) * cos(x)

Поділимо обидві сторони на (5/4):

∫e^(x/2) * cos(x) dx = (4/5) * [e^(x/2) * sin(x) + (1/2) * e^(x/2) * cos(x)]

Отже, отримали остаточний результат:

∫e^(x/2) * cos(x) dx = (4/5) * [e^(x/2) * sin(x) + (1/2) * e^(x/2) * cos(x)] + C,

де C - це константа інтегрування.