Question

A+b=7, ab=2 Найти: a^4 + b^4

Answer 1

Решение.

                 $\bf a+b=7\ \ ,\ \ ab=2$

Возведём сумму  a+b в квадрат и приравняем его  7², получим

$\bf (a+b)^2=7^2\\\\a^2+2\cdot \underbrace{a\, b}_{2}+b^2=49\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a^2+b^2+4=49\ \ ,\\\\a^2+b^2=45$  

Теперь возведём в квадрат сумму квадратов, получим

$\bf (a^2+b^2)^2=45^2\\\\a^4+2a^2b^2+b^4=2025\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a^4+2\cdot (\underbrace{ab}_{2})^2+b^4=2025\ \ ,\\\\a^4+b^4+8=2025\\\\\boxed{\bf \ a^4+b^4=2017\ }$

Answer 2

Для нахождения значения a^4 + b^4, мы можем воспользоваться формулой разложения четвёртой степени суммы двух чисел:

a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2

Мы знаем значения a + b и ab:

a + b = 7 ab = 2

Сначала найдём a^2 + b^2:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 7^2 = a^2 + 2 * 2 + b^2 49 = a^2 + 4 + b^2

Теперь мы можем выразить a^2 + b^2:

a^2 + b^2 = 49 - 4 a^2 + b^2 = 45

Теперь вычислим 2a^2b^2:

2a^2b^2 = 2 * (ab)^2 2a^2b^2 = 2 * 2^2 2a^2b^2 = 8

И теперь, используя формулу разложения четвёртой степени суммы, найдём a^4 + b^4:

a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 a^4 + b^4 = (45)^2 - 8 a^4 + b^4 = 2025 - 8 a^4 + b^4 = 2017

Итак, a^4 + b^4 равно 2017.