Question

Аня записала по кругу 30 неотрицательных чисел, каждое из них равно разности двух следующих за ним по часовой стрелке чисел (из большего вычитается меньшее). Сумма всех чисел равна 300. Чему может быть равно первое число, выписанное Аней? Введите все возможные ответы в произвольном порядке.

Answer 1

Ответ:

Значит на первом месте может быть либо 15,либо 0.

Пошаговое объяснение:

Возьмем на первом месте наибольшее из возможных чисел. Обозначим его Х.

Рядом с Х стоят числа  А и В.  

Х >A  и  Х >В

Мы выбрали такое место,что Х максимальное

По правилу Х=IВ-АI ,сказано,что можно отнимать от большего меньшее.

Учитывая,что разность равна максимальному числу и все числа неотрицательные делаем вывод,что одно из чисел 0,а другое тоже максимальное число.

Х= В-0   или  Х=0-А

Х=В при А-0           или   Х=А  при В=0

Первые три числа

Х;0;Х                      или          Х;Х;0

Добавим еще три числа а,в,с

Х;0;Х;а;в;с                      или          Х;Х;0;а;в;с    

Возьмем второе третье и четвертое числа.

0=а-Х                                 или               Х=а-0

Х=а                                                             Х=а

Теперь возьмем третье,четвоертое и пятые числа.

Подставим найденное в предыдущей строке.

Х=Х-в                              или             0=в-Х      

в=Х-Х                                                Х=в

в=0    

Теперь проверим тройку а;в;с

Х;0;с                                                      Х;Х;с

Х=с-0                                                     Х=с-Х

с=Х                                                          с=0

получили первые 6 чисел по порядку

(Х;0;Х);Х;0;Х;...                                           (Х;Х;0);Х;Х;0;...

Повторяющиеся тройки чисел...сумма Х+Х+0=2Х

По кругу стоит 30 чисел. 30:3=10 троек одинаковых сумм

Найдем сумму одной тройки. 300:10=30

Сумма одной тройки 2Х=30   ⇒   Х=15

Получаем возможный порядок 15;0;15;15;0;15...

или 15;15;0;15;15;0;...

Поскольку числа записаны по кругу,то начинать можно как с 15,так и с 0.

Answer 2

Давайте обозначим эти 30 чисел как a1, a2, ..., a30. Из условия известно, что:

a1 = (a2 - a1) + (a3 - a2) + ... + (a30 - a29) + (a1 - a30)

Мы видим, что все числа a2, a3, ..., a30 сокращаются в этом уравнении, и остается только:

a1 = a1 - a30

Теперь мы знаем, что сумма всех чисел равна 300, то есть:

a1 + a2 + ... + a30 = 300

Теперь подставим a1 в это уравнение:

a1 + (a1 - a30) + a2 + a3 + ... + a30 = 300

a1 - a30 + a1 + a2 + a3 + ... + a30 = 300

2a1 = 300

a1 = 150

Итак, первое число, записанное Аней, может быть равно 150.