Question

Аня записала по кругу 30 неотрицательных чисел, каждое из них равно разности двух следующих за ним по часовой стрелке чисел (из большего вычитается меньшее). Сумма всех чисел равна 300. Чему может быть равно первое число, выписанное Аней?​

Answer 1

Ответ:

15

Пошаговое объяснение:

давайте возьмем любое самое большое из всех чисел  - пусть будет число А

теперь смотрим: оно равно разности $\displaystyle A_2 -A_3$ и каждое из них не больше А (ведь мы взяли самое большое число), и они различаются на А (так как из разница =предыдущему числу А), вот так:  $\displaystyle A_2 -A_3=A$,

а это возможно только если А₂=А; А₃=0 или А₂=0;  А₃=А (что без разницы.) будем считать, что у нас А₂=А.

тогда мы получим сразу три числа

А; А; 0;

дальше двигаемся. на втором месте у нас оказалось А, тогда составляем следующую тройку $\displaystyle A_2=A_3-A_4$.  подставим известные А₂=А и А₃=0 и получим А=0-А₄  но нам известно, что число А - положительное и вычитать можно из большего меньшее ⇒ А₄=А

А; А; 0; А;

считаем еще одно число $\displaystyle A_3=A_4-A_5$, подставим известные А₃=0 и А₄=А и получим 0=А-А₅ ⇒  А₅=А

и вот у нас уже есть 5 чисел

А;А;0;А;А;

ну и еще одно число подсчитаем для определения закономерности

$\displaystyle A_4=A_5-A_6 \qquad A=A-A_6\qquad \Rightarrow \quad A_6=0$

и вот что у нас получается

А;А;0;А;А; .....

т.е. мы имеем группы по три числа А; А; 0  

и таких групп будет 30/3 = 10 групп

и посмотрим, какая сумма приходится на каждую группу

300/10 = 30

а состоит эта сумма на группу из А; А; 0, т.е. А+А+0=30  

и вот наше число А=15

а поскольку в вопросе спрашивается чему может быть равно первое число, то наше допущение, что мы взяли А как наибольшее число, вполне правомерно.

итак, ответ

первое число может быть 15

Answer 2

Давайте обозначим числа, которые Аня записала, как a_1, a_2, ..., a_30. Здесь a_1 - это первое число, которое мы ищем. Мы знаем, что сумма всех чисел равна 300, поэтому мы можем записать уравнение:

a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_30 = 300

Теперь давайте вспомним, что каждое число равно разности двух следующих за ним чисел по часовой стрелке. Это означает, что:

a_1 = a_2 - a_3 a_2 = a_3 - a_4 ... a_29 = a_30 - a_1 a_30 = a_1 - a_2

Теперь мы можем заменить a_2, a_3, ..., a_30 в уравнении суммы:

a_1 + (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + ... + (a_29 - a_30) + (a_30 - a_1) = 300

Теперь давайте упростим это уравнение, отметив, что многие члены сокращаются:

a_1 - a_1 = 0 -a_2 + a_2 = 0 -a_3 + a_3 = 0 ... -a_30 + a_30 = 0

И у нас остается только:

a_1 = 300

Таким образом, первое число, выписанное Аней, равно 300.