Question

5. Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями: y=x2 -4x+7 , y=0 , x=0 , x=1​

Answer 1

Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна $5\dfrac{1}{3}$  кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

$y=x^{2} -4x+7,y=0,x=0,x=1$

Выполним рисунок. Преобразуем квадратичную функцию, для этого выделим квадрат двучлена

$y=x^{2} -4x+7=x^{2} -4x+4+3=(x-2)^{2} +3$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (2; 3).

Найдем еще несколько точек для построения

если х= 1 , то y=4;

если х= 3 , то y=4;

если х= 0, то y=7;

если х= 4, то y=7

Прямая y=0  - это ось абсцисс

Прямая х=0  - это ось ординат

Прямая х=1 - это прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку (1; 0)

Получили криволинейную трапецию. Так как функция $y=x^{2} -4x+7$

непрерывна и неотрицательна на [0; 1], то  площадь  равна

$S=\int\limits^1_0 {(x^{2} -4x+7)} \, dx =\left(\dfrac{x^{3} }{3} -2x^{2} +7x\right)|^1_0 {} \, =\dfrac{1}{3} -2+7-(0-0+0)=\\\\=\dfrac{1}{3}+5=5\dfrac{1}{3}$

Площадь криволинейной трапеции равна $5\dfrac{1}{3}$  кв. ед.

#SPJ1

Answer 2

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой $y = x^2 - 4x + 7$, линиями $y = 0$, $x = 0$ и $x = 1$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения кривой $y = x^2 - 4x + 7$ с осью x. Это будут точки, в которых $y = 0$.

Для этого решим уравнение $x^2 - 4x + 7 = 0$. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

$D = b^2 - 4ac$,

где $a = 1$, $b = -4$, и $c = 7$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.

Так как дискриминант $D$ отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что кривая $y = x^2 - 4x + 7$ не пересекает ось x, когда $y = 0$.

2. Теперь найдем точки пересечения линий $x = 0$ и $x = 1$ с осью x. Эти точки - это сами линии.

Точка A: $x = 0$. Точка B: $x = 1$.

3. Теперь мы видим, что наша криволинейная трапеция ограничена линиями $x = 0$, $x = 1$, и $y = 0$, и не имеет точек пересечения с кривой $y = x^2 - 4x + 7$, так как дискриминант отрицателен. Следовательно, ее высота равна 0.

4. Теперь найдем длины оснований трапеции. Длина основания AB равна разнице между x-координатами точек A и B:

Длина AB = $1 - 0 = 1$.

5. Теперь можем найти площадь криволинейной трапеции, используя формулу для площади трапеции:

Площадь = $(\text{Сумма длин оснований} \cdot \text{Высота}) / 2$.

Площадь = $(1 \cdot 0) / 2 = 0$.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 7$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 1$, равна 0.