Question

ПОЖАЛУЙСТА ОЧЕНЬ СРОЧНО В параллелограмме с площадью 100см^2,биссектрисы углов В и С пересекаются на противоположной стороне в точке Е. Периметр треугольника BEC=60см.Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Answer 1

Ответ:

Периметр параллелограмма ABCD равен 85 см.

Пошаговое объяснение:

В параллелограмме с площадью 100 см², биссектрисы углов В и С пересекаются на противоположной стороне в точке Е. Периметр треугольника BEC = 60 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Дано: ABCD - параллелограмм;

ВЕ и СЕ - биссектрисы;

Е ∈ AD;

S (ABCD) = 100 см²;

Р (ΔВЕС) = 60 см.

Найти: Р(ABCD).

Решение:

Проведем высоту ЕН.

Для удобства обозначим: ВЕ = b; CE = a; BC = c; EH = h.

1. Рассмотрим ΔВСЕ.

• В параллелограмме углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180°.

⇒ ∠В + ∠С = 180°

∠1 = ∠2 (ВЕ - биссектриса)

∠3 = ∠4 (СЕ - биссектриса)

⇒ ∠2 + ∠4 = 180° : 2 = 90°

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠ВЕС = 180° - 90° = 90°

⇒ ΔВСЕ - прямоугольный.

2. Разберемся с площадями.

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

⇒ S(ABCD) = ch

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

⇒ S(ΔBCE) = 1/2 ch

Видим, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

⇒ S(ΔBCE) = 100 : 2 = 50 (см²)

3. Теперь разберемся с периметрами.

Рассмотрим ΔАВЕ.

∠1 = ∠2 (условие)

∠6 = ∠2 (накрест лежащие при BC || AD и секущей ВЕ)

⇒ ∠1 = ∠6.

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник  равнобедренный.

⇒ АЕ = АВ

Рассмотрим ΔЕСD.

∠3 = ∠4 (условие)

∠5 = ∠4 (накрест лежащие при BC || AD и секущей CЕ)

⇒ ∠3 = ∠5.

ΔЕСD - равнобедренный.

⇒ ЕD = DC

Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ АЕ + ED = AD = BC = c

Тогда АВ + CD = c

• Периметр параллелограмма - сумма длин его сторон.

Р(ABCD) = BC + AD + AB + CD = 3c

4. Найдем сторону c.

Вспомним:

• Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Получим систему:

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} a+b+c=60 \\ \frac{1}{2}ab=50 \\a^2+b^2=c^2 \end{cases}\end{equation*}$                $\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases} a+b+c=60 \\ ab=100 \\a^2+b^2=c^2 \end{cases}\end{equation*}$

В третьем уравнении левую часть дополним до полного квадрата, для этого прибавим и вычтем 2ab:

$>(1)</p> <p>Из первого уравнения:</p> <p><img src=$

из второго уравнения:

$ab = 100$

подставим в выражение (1)

$\displaystyle (60-c)^2-2\cdot100=c^2\\\\3600-120c+c^2-200=c^2\\\\120c=3400\\\\c=\frac{85}{3}\;_{(CM)}$

⇒ P (ABCD) = 3 · c = 85 (см)

Периметр параллелограмма ABCD равен 85 см.

#SPJ1

Answer 2

Давайте обозначим стороны параллелограмма следующим образом:

Пусть a и b - стороны параллелограмма, а h - высота, опущенная из вершины A (то есть высота, проходящая через точку Е).

Так как биссектрисы углов B и C пересекаются в точке Е и разделяют параллелограмм на два равных треугольника (AEB и CED), то стороны треугольника BEC равны. Поэтому:

BE = CE

Также из условия известно, что периметр треугольника BEC равен 60 см:

BE + EC + BC = 60

Так как BE = CE, мы можем заменить их:

2BE + BC = 60

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Площадь параллелограмма: $S = a \cdot h = 100 \, \text{см}^2$
2. Уравнение для периметра треугольника BEC: $2BE + BC = 60$

Мы знаем, что биссектрисы углов B и C пересекаются на противоположной стороне в точке E, следовательно, высота h равна половине высоты параллелограмма. Таким образом, $h = \frac{a}{2}$.

Теперь можем записать уравнение для площади:

$100 = a \cdot \frac{a}{2}$

Решим это уравнение для a:

$a^2 = 200$

$a = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$

Теперь мы можем использовать это значение, чтобы найти стороны BE и EC:

$BE = CE = \frac{a}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

Теперь подставим это значение в уравнение для периметра треугольника BEC:

$2 \cdot 5\sqrt{2} + BC = 60$

$10\sqrt{2} + BC = 60$

$BC = 60 - 10\sqrt{2}$

Таким образом, мы нашли значения сторон параллелограмма: $a = 10\sqrt{2}$, $b = BC = 60 - 10\sqrt{2}$.

Теперь можем найти периметр параллелограмма:

$P = 2(a + b)$

Подставим значения:

$P = 2(10\sqrt{2} + 60 - 10\sqrt{2})$

$P = 2 \cdot 60 = 120$

Итак, периметр параллелограмма ABCD равен 120 см.