Question

Лиза пытается вспомнить пароль от своей электронной почты. Она помнит, что это девятизначное число, причём в его записи каждая цифра, кроме первой и девятой, равна произведению соседних с ней цифр. Какое количество вариантов придётся перебрать Лизе?ОТВЕТ 9 НЕПРАВИЛЬНО!!!

Answer 1

Ответ:

Лиза подберет пароль с первого раза

Пошаговое объяснение:

Пусть первая цифра пароля равна $x$, а третья — $y$. Тогда по условию вторая цифра пароля равна произведению первой и третьей, то есть $xy$.

$x - xy - y - ?$

Теперь из того, что $xy$ вторая цифра, а $y$ — третья, найдем четвертую цифру. Пусть четвертая цифра равна $t$, тогда $y = xy \cdot t$, откуда

$t = \displaystyle\frac{y}{{xy}} = \displaystyle\frac{1}{x}.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - ?$

Аналогично выражаем пятую и остальные цифры.

Пусть пятая цифра равна $t$, тогда

$\displaystyle\frac{1}{x} = y \cdot t,\ t = \displaystyle\frac{1}{x}:y = \displaystyle\frac{1}{x} \cdot \displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{1}{{xy}}.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - ?$

Пусть шестая цифра равна $t$, тогда

$\displaystyle\frac{1}{{xy}} = \displaystyle\frac{1}{x} \cdot t,\ t = \displaystyle\frac{1}{{xy}}:\displaystyle\frac{1}{x} = \displaystyle\frac{1}{{xy}} \cdot x = \displaystyle\frac{1}{y}.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - \displaystyle\frac{1}{y} - ?$

Пусть седьмая цифра равна $t$, тогда

$\displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{1}{{xy}} \cdot t,\ t = \displaystyle\frac{1}{y}:\displaystyle\frac{1}{{xy}} = \displaystyle\frac{1}{y} \cdot xy = x.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - \displaystyle\frac{1}{y} - x - ?$

Пусть восьмая цифра равна $t$, тогда

$x = \displaystyle\frac{1}{y} \cdot t,\ t = x:\displaystyle\frac{1}{y} = xy.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - \displaystyle\frac{1}{y} - x - xy - ?$

Замечаем, что последовательность выражений начинает циклически повторяться, значит девятая цифра такая же, как и третья — $y$.

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - \displaystyle\frac{1}{y} - x - xy - y$

В этой записи на каждом месте записана цифра, в т. ч. $\displaystyle\frac{1}{x},\,\,\displaystyle\frac{1}{y}$ и $\displaystyle\frac{1}{{xy}}.$ Единственная цифра, которая делит единицу — это сама единица. Значит и $x$, и $y$ равен 1.

Таким образом, пароль от почты Лизы — последовательность из девяти единиц 111111111 и это единственное девятизначное число, обладающее подобным свойством.

Answer 2

Давайте разберёмся с этой задачей. По вашему описанию пароля, он имеет девять цифр, и каждая цифра, кроме первой и девятой, равна произведению соседних с ней цифр. Это означает, что пароль имеет следующую структуру:

A _ _ _ _ _ _ _ B

Где A - первая цифра пароля, а B - девятая цифра пароля.

Мы знаем, что в десятичной системе счисления цифры могут быть от 0 до 9. Поскольку A и B имеют ограничения только на первую и девятую цифру, их можно выбрать из диапазона от 1 до 9, так как 0 нельзя использовать для умножения. Для всех остальных позиций в пароле у нас есть ограничения, что они равны произведению соседних цифр.

Теперь давайте рассмотрим варианты для внутренних цифр (между A и B). Каждая из этих цифр может быть равной произведению своих соседних цифр. Например, если мы рассмотрим позицию C в пароле:

A C _ _ _ _ _ _ B

Мы знаем, что C = A * _ и C = _ * _, поэтому C может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, или 9.

Теперь, так как у нас 7 позиций между A и B, и каждая из них может быть одной из 9 цифр, у нас есть 9^7 возможных вариантов.

Итак, общее количество вариантов пароля, которые Лиза должна перебрать, составляет 9^7 = 4,782,969 вариантов.