Question

Показати, що точки А(2;-1;-2), B(1:2:1), C(2:3:0), D(5:0;-6) лежать в одній площині

Answer 1

Показати, що точки А(2;-1;-2), B(1:2:1), C(2:3:0), D(5:0;-6) лежать в одній площині.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA        y - yA     z - zA

xB - xA      yB - yA      zB - zA

xC - xA       yC - yA     zC – zA   = 0

Подставим данные точек А, В и С и упростим выражение:

x – 2       y - (-1)      z - (-2)

1 – 2       2 - (-1)      1 - (-2)

2 – 2       3 - (-1)       0 - (-2)   = 0

x – 2     y - (-1)      z - (-2)

-1             3              3

0              4              2  = 0

(x – 2)*(3·2-3·4) – (y - (-1))/((-1)·2-3·0) + (z - (-2))*((-1)·4-3·0) = 0.

(-6)(x – 2) + 2(y - (-1)) + (-4)(z - (-2)) = 0.

- 6x + 2y - 4z + 6 = 0 или, сократив на -2:

3x - y + 2z - 3 = 0.

Подставим в полученное уравнение координаты точки D(5:0;-6).

3*5 – 0 + 2*(-6) – 3 = 15 – 0 – 12 – 3 = 0.

Да, точка D лежит в одной плоскости с точками А, В и С.

Answer 2

Щоб показати, що точки A(2, -1, -2), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0) і D(5, 0, -6) лежать в одній площині, ми можемо використовувати векторний аналіз. Щоб це зробити, побудуємо вектори, які описують відрізки між цими точками і перевіримо, чи ці вектори лежать в одній площині.

1. Знайдемо вектори AB, AC і AD:

   • Вектор AB = B - A = (1 - 2, 2 - (-1), 1 - (-2)) = (-1, 3, 3)
   • Вектор AC = C - A = (2 - 2, 3 - (-1), 0 - (-2)) = (0, 4, 2)
   • Вектор AD = D - A = (5 - 2, 0 - (-1), -6 - (-2)) = (3, -1, -4)

2. Тепер знайдемо їхні векторні добутки:

   • Векторний добуток AB і AC: AB × AC = (-1, 3, 3) × (0, 4, 2) = (-6, -3, 4)
   • Векторний добуток AB і AD: AB × AD = (-1, 3, 3) × (3, -1, -4) = (-15, -9, -2)

3. Перевіримо, чи вони лежать в одній площині. Для цього перевіримо, чи векторний добуток AB × AC і векторний добуток AB × AD колінеарні (лежать на одній лінії). Це можна зробити, перевіривши, чи їхні компоненти пропорційні один одному.

Для векторів AB × AC і AB × AD ми можемо порівняти їхні співвідношення компонент:

AB × AC: (-6, -3, 4) AB × AD: (-15, -9, -2)

Співвідношення компонент не однакові, тобто вектори AB × AC і AB × AD не колінеарні, і, отже, точки A, B, C і D не лежать в одній площині.