Question

У натурального числа n нашлись такие различные натуральные делители a и b, что (а-1)(b+2)=n-2. Докажите, что 2n является квадратом натурального числа.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Раскроем сначала скобки и выразим n:

$(a-1)(b+2)=n-2\\n=ab+2a-b$

Так как $a$ и $b$ - это натуральные делители, то верно что:

$\dfrac{n}{a}=\dfrac{ab+2a-b}{a}=b+2-\dfrac{b}{a}$ есть натуральное число.

$\dfrac{n}{b}=\dfrac{ab+2a-b}{b}=a+\dfrac{2a}{b}-1$ также есть натуральное число.

Соответственно делаем вывод, что:

$\left\{\begin{array}{c}\dfrac{b}{a}=k,\\\\\dfrac{2a}{b}=m\end{array}\right;\;\;\;\;\;k,\;m\in\mathbb{N}$

Перемножим теперь строки системы:

$km=2$

Ну а это возможно только в двух случаях:

1) Когда $m=2,\;k=1$.

2) И, наоборот, когда $m=1,\;k=2$.

Рассмотрим первый случай:

$\dfrac{b}{a}=1,\;a=b$

Но это противоречит исходному условию $a\ne b$.

Второй случай дает $\dfrac{b}{a}=2$.

Таким образом, мы показали, что $b=2a$.

Теперь подставим это в $n$:

$n=ab+2a-b=2a^2$

Соответственно находим $2n$:

$2n=4a^2=\left(2a\right)^2=c^2$.

Доказано!

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим уравнение (а-1)(b+2) = n-2 и попробуем его преобразовать. Раскроем скобки:

аb + 2a - b - 2 = n - 2

Получим:

ab + 2a - b = n

Теперь давайте попробуем выразить одну из переменных (a или b) через n. Для этого можно выразить, например, a:

a = (n - b) / (b + 2)

Мы видим, что n, b и (b + 2) являются натуральными числами, и n делится на (b + 2), так как (n - b) делится на (b + 2). Давайте обозначим это как:

n = k(b + 2)

где k - натуральное число.

Теперь мы можем подставить это выражение для n обратно в исходное уравнение:

ab + 2a - b = k(b + 2)

ab + 2a - b = kb + 2k

ab + 2a - kb - 2k - b = 0

ab + 2(a - k) - b(k + 2) = 0

Теперь давайте рассмотрим это как квадратное уравнение относительно a:

ab + 2(a - k) - b(k + 2) = 0

a^2 + 2(a - k) - b(k + 2) = 0

Теперь мы видим, что a^2 + 2(a - k) - b(k + 2) = 0 - это квадратное уравнение относительно a. Для того чтобы это уравнение имело решение, его дискриминант должен быть полным квадратом некоторого натурального числа D.

Дискриминант квадратного уравнения имеет вид:

D = (2(a - k))^2 - 4b(k + 2)

D = 4(a - k)^2 - 4b(k + 2)

D = 4[(a - k)^2 - b(k + 2)]

Так как D должен быть полным квадратом натурального числа, выражение [(a - k)^2 - b(k + 2)] также должно быть полным квадратом.

Теперь давайте вернемся к уравнению n = k(b + 2):

n = k(b + 2)

Теперь мы видим, что (b + 2) делит n. Из вышеуказанного выражения для D следует, что [(a - k)^2 - b(k + 2)] также делится на (b + 2). Это означает, что D делится на (b + 2).

Таким образом, D делится и на (b + 2), и на (b + 2), что означает, что D делится на их наименьшее общее кратное (НОК). НОК (b + 2, b + 2) равно (b + 2). То есть D делится на (b + 2) в квадрате.

Теперь мы можем записать D как:

D = (b + 2)^2 * X

где X - натуральное число.

Теперь вернемся к нашему выражению для D:

D = 4[(a - k)^2 - b(k + 2)]

Теперь мы видим, что D равно 4 умножить на выражение в скобках. Поэтому:

4[(a - k)^2 - b(k + 2)] = (b + 2)^2 * X

Теперь делим обе стороны на 4:

[(a - k)^2 - b(k + 2)] = ((b + 2)^2 * X) / 4

[(a - k)^2 - b(k + 2)] = ((b + 2)^2 * X) / 4

Теперь мы видим, что левая сторона является целым числом (поскольку она равна D, который является полным квадратом натурального числа), а правая сторона также является целым числом (так как (b + 2) и X - натуральные числа). Таким образом, (a - k)^2 - b(k + 2) - это целое число.

Теперь вернемся к уравнению:

ab + 2(a - k) - b(k + 2) = 0

Теперь мы знаем, что (a - k)^2 - b(k + 2) - это целое число, поэтому левая сторона уравнения является целым числом. Это означает, что и a - тоже целое число.

Таким образом, мы доказали, что a является натуральным числом, и в сочетании с тем, что n = k(b + 2), мы видим, что n также является квадратом натурального числа.

Итак, доказано, что 2n является квадратом натурального числа.