Question

В треугольнике ABC точка О - центр вписанной в треугольник окружности. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке Н, прямая АО пересекает сторону ВС в точке М. уголВНС=углуАМС=90°. 1) Докажите, что треугольник АВС равносторонний 2) Найдите HM, если ОМ=5 Спасибо!

Answer 1

Ответ:

1)Доказано!

2) HM=5√3

Пошаговое объяснение:

1)              Доказательство:

Центр вписанной окружности в треугольник лежит на пересечении биссектрис и если эти биссектрисы ещё и перпендикулярны сторонам , к котором проведены , тогда , ΔАВС-равнобедренный , и высоты ещё являются медианами.Если АМ-биссектриса и высота , то АС=АВ ; если ВН-биссектриса и высота , то ВС=АВ→АВ=ВС=АС→ΔАВС-равносторонний. Что и требовалось доказать!

     

2)  (см.чертёж)

Проведём высоту - СК . НМ-средняя линия треугольника АВС , средняя линия треугольника равна половине основания, НМ=1/2АВ , но если АМ и СК ещё и медианы , то ВК=ВМ=НМ, В раностороннем треугольнике каждый угол равен 60° , а если ВН-биссектриса , она делит углы пополам(свойство биссектрисы) ⇒ ∠СВН=∠НВА=60°:2=30°,рассм.ΔОВМ , ΔОВМ-прямоугольный , т.к ОМ-высота (при АМ⊥ВС), ОМ=5(по условию) , она  лежит против угла в 30°(∠СВН) , а в прямоугольном треугольнике : катет лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы, тогда ВО=2ОМ=2·5=10 , найдём ещё ВМ по т.Пифагора , она гласит , что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадрата его катетов.

$BO^2=OM^2+BM^2\\100=25+BM^2\\BM=\sqrt{100-25} =\sqrt{75} =5\sqrt{3}$

Следовательно , ВМ=НМ=5√3

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC равносторонний, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Так как угол ВНС = угол АМС = 90°, то треугольники ВНО и АМО прямоугольные.

2. Также, так как O - центр вписанной окружности, то OA, OB и OC - радиусы этой окружности. Поэтому OI будет радиусом вписанной окружности, где I - центр вписанной окружности.

3. Так как треугольники ВНО и АМО прямоугольные и I - центр вписанной окружности, то мы можем воспользоваться свойством касательных к окружности: BN = NO = AM = MO = r (где r - радиус вписанной окружности).

4. Поскольку BN = AM и NO = MO, то BN + NO = AM + MO, что означает, что BN + BO = AM + AO.

5. Из пункта 4 следует, что AB = AC, что означает, что треугольник ABC равнобедренный.

6. Так как треугольник ABC равнобедренный и угол ВНС = угол АМС = 90°, то угол BAC = 180° - угол ВНС - угол АМС = 180° - 90° - 90° = 0°. Это означает, что треугольник ABC равносторонний.

Теперь мы знаем, что треугольник ABC равносторонний. Чтобы найти HM, мы можем воспользоваться следующими шагами:

7. Поскольку треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны 60°.

8. Так как угол BAC = 0° (как показано выше), то угол BAH и угол CAM равны 0°.

9. Это означает, что треугольники BAH и CAM прямоугольные.

10. Теперь мы можем использовать свойство прямоугольных треугольников и соответствующие отношения для нахождения HM:

В треугольнике BAH:

• BA = BC / 2 (так как треугольник ABC равнобедренный)
• AH = AO - OH = r - 5 (где r - радиус вписанной окружности)

В треугольнике CAM:

• CA = CB / 2 (так как треугольник ABC равнобедренный)
• AM = AO + MO = r + 5

11. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольниках BAH и CAM:

В BAH: (BA)^2 = (AH)^2 + (BH)^2 (BC/2)^2 = (r - 5)^2 + (BH)^2

В CAM: (CA)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 (CB/2)^2 = (r + 5)^2 + (CM)^2

12. Так как BA = CA и BC = CB (так как треугольник ABC равносторонний), то мы можем приравнять выражения для (BA)^2 и (CA)^2:

(BC/2)^2 = (r - 5)^2 + (BH)^2 = (r + 5)^2 + (CM)^2

13. Теперь мы можем решить это уравнение относительно HM:

(r - 5)^2 + (BH)^2 = (r + 5)^2 + (CM)^2

14. Поскольку мы ищем HM, и HM равно BH + CM, мы можем объединить два уравнения:

(r - 5)^2 + (BH)^2 = (r + 5)^2 + (CM)^2 (r - 5)^2 + [(BH + CM)^2] = (r + 5)^2

15. Теперь мы можем решить это уравнение относительно HM:

(BH + CM)^2 = (r + 5)^2 - (r - 5)^2 (BH + CM)^2 = 4r * 5 BH + CM = 2 * sqrt(5r)

Таким образом, мы нашли HM: HM = 2 * sqrt(5r)

Из пункта 3 мы знаем, что BN = r, поэтому HM = 2 * sqrt(5 * BN) HM = 2 * sqrt(5 * r)

Теперь мы можем подставить значение r, которое известно из условия (r = 5): HM = 2 * sqrt(5 * 5) HM = 2 * sqrt(25) HM = 2 * 5 HM = 10

Итак, HM = 10.