Question

ПОМОГИТЕ #3.знайдіть точки максимуму і мінімуму функції: 1) f(x) = -3x⁸2) f(x) = x²+12x​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)

f(x)= -3x⁸

f'(x)= -24x⁷

0= -24x⁷

x=0

получаем 2 промежутка:

(-∞;0) (0;+∞)

х1= -1 f'(-1)= -24•(-1)⁷=24 возрастает(+)

x2=1 f'(1)= -24•1⁷= -24 убывает(-)

х=0 - точка максимума

f(max)= -3•0⁸=0

2)

f(x)=x²+12x

f'(x)=2x+12

0=2x+12

2x= -12

x= -6

получаем 2 промежутка:

(-∞;-6) (-6;+∞)

х1= -7 f'(-7)=2•(-7)+12= -14+12= -2 убывает(-)

х2= -5 f'(-5)=2•(-5)+12= -10+12=2 возрастает(+)

х= -6 - точка минимума

f(min)=(-6)²+12•(-6)=36-72= -36

Answer 2

Щоб знайти точки максимуму і мінімуму функцій, спочатку знайдіть їх похідні та вирішіть рівняння f'(x) = 0 для знаходження критичних точок, а потім використовуйте тест знаків для визначення типу цих точок (максимум чи мінімум).

1. f(x) = -3x^8

Знайдемо похідну функції f(x) по x:

f'(x) = d/dx(-3x^8) = -24x^7

Тепер знайдемо критичні точки, прирівнявши f'(x) до 0:

-24x^7 = 0

Це рівняння має один розв'язок:

x = 0

Тепер використовуємо тест знаків:

Позначимо інтервали на числовій осі: (-∞, 0) і (0, ∞).

Виберемо тестову точку x = -1 (з інтервалу (-∞, 0)) і підставимо її в похідну:

f'(-1) = -24(-1)^7 = -24

Таким чином, на інтервалі (-∞, 0), похідна f'(x) від'ємна, що означає, що функція f(x) спадає.

Тепер виберемо тестову точку x = 1 (з інтервалу (0, ∞)) і підставимо її в похідну:

f'(1) = -24(1)^7 = -24

На інтервалі (0, ∞), похідна f'(x) також є від'ємною, що означає, що функція f(x) спадає.

Отже, функція f(x) = -3x^8 не має точок максимуму або мінімуму на всій дійсній числовій осі. Вона просто спадає зростанням x.

2. f(x) = x^2 + 12x

Знайдемо похідну функції f(x) по x:

f'(x) = d/dx(x^2 + 12x) = 2x + 12

Тепер знайдемо критичні точки, прирівнюючи f'(x) до 0:

2x + 12 = 0

Розв'яжемо це рівняння для x:

2x = -12 x = -12/2 x = -6

Тепер використовуємо тест знаків:

Позначимо інтервали на числовій осі: (-∞, -6), (-6, ∞).

Виберемо тестову точку x = -7 (з інтервалу (-∞, -6)) і підставимо її в похідну:

f'(-7) = 2(-7) + 12 = -14 + 12 = -2

На інтервалі (-∞, -6), похідна f'(x) від'ємна, що означає, що функція f(x) спадає.

Тепер виберемо тестову точку x = -5 (з інтервалу (-6, ∞)) і підставимо її в похідну:

f'(-5) = 2(-5) + 12 = -10 + 12 = 2

На інтервалі (-6, ∞), похідна f'(x) додатня, що означає, що функція f(x) зростає.

Отже, у функції f(x) = x^2 + 12x є мінімум в точці x = -6 і він є локальним мінімумом, оскільки функція спадає перед цією точкою і зростає після неї.