Question

Напомните как решать плиз cosxcos4x=cos5x​

Answer 1

Формула разности косинусов:

$\cos \alpha-\cos\beta =-2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}$

Формула произведения косинусов:

$\cos \alpha \cos\beta =\dfrac{1}{2} \left( \cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \right)$

Рассмотрим уравнение:

$\cos x\cos4x=\cos5x$

В левой части применяем формулу произведения косинусов:

$\dfrac{1}{2}\left( \cos (x+4x)+\cos(x-4x)\right)=\cos5x$

$\dfrac{1}{2}\left( \cos5x+\cos(-3x)\right)=\cos5x$

$\dfrac{1}{2}\left( \cos5x+\cos3x\right)=\cos5x$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\cos5x+\cos3x=2\cos5x$

$\cos3x-\cos5x=0$

В левой части применяем формулу разности косинусов:

$-2\sin\dfrac{3x+5x}{2} \sin\dfrac{3x-5x}{2} =0$

$-2\sin4x\sin(-x)=0$

$2\sin4x\sin x=0$

$\sin4x\sin x=0$

Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей:

$\left[\begin{array}{l} \sin4x =0 \\ \sin x=0\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} 4x =\pi n \\ x=\pi n\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} x =\dfrac{\pi n}{4} \\ x=\pi n\end{array}\right.,\ n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что все корни второй серии встречаются среди корней первой серии. Поэтому, запись ответа можно упростить:

$x =\dfrac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения cos(x)cos(4x) = cos(5x) мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить его.

1. Воспользуйтесь тождеством cos(a)cos(b) = 0.5[cos(a + b) + cos(a - b)], чтобы разложить левую часть уравнения:

   0.5[cos(x + 4x) + cos(x - 4x)] = cos(5x)

   Теперь у нас есть:

   0.5[cos(5x) + cos(-3x)] = cos(5x)

2. Теперь мы можем выразить cos(-3x) через cos(3x) с использованием тождества cos(-a) = cos(a):

   0.5[cos(5x) + cos(3x)] = cos(5x)

3. Теперь давайте избавимся от 0.5, умножив обе стороны уравнения на 2:

   cos(5x) + cos(3x) = 2 * cos(5x)

4. Выразим cos(5x) на одной стороне уравнения, вычитая его из обеих сторон:

   cos(3x) = 2 * cos(5x) - cos(5x)

   cos(3x) = cos(5x)

5. Теперь мы имеем уравнение cos(3x) = cos(5x). Для нахождения решений, используйте свойства тригонометрических функций:

   • Если cos(3x) = cos(5x), то это означает, что либо 3x = 5x, либо 3x = -5x (потому что косинус равен на четных кратных углах).

   Рассмотрим два случая:

   a) 3x = 5x:

   3x - 5x = 0

   -2x = 0

   x = 0

   b) 3x = -5x:

   3x + 5x = 0

   8x = 0

   x = 0

Таким образом, уравнение cos(x)cos(4x) = cos(5x) имеет единственное решение x = 0.