Question

Знайдіть площу фігури обмеженої лініями y=x² і y= -3x​

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры ограниченной линиями равна 4,5 квадратных единиц

Пошаговое объяснение:

Линии ограничивающие фигуру(площадь):

$y =x^{2}$

$y =-3x$

Абсциссы пересечения линий ограничивающих фигуру:

$x^{2} =-3x$

$x^{2} + 3x = 0$

$x(x + 3) = 0$

$x_{1} = 0$ или $x_{2} =-3$

Так как график $y =-3x$ находится над графиком $y =x^{2}$ и абсциссы пересечения данных графиков есть точки 0 и -3, то согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь фигуры ограниченной линиями есть:

$\displaystyle S = \int\limits^{0}_{-3} {(-3x - x^{2} )} \, dx = -\int\limits^{0}_{-3} {(3x + x^{2} )} \, dx = -\Bigg(\int\limits^{0}_{-3} {3x} \, dx+\int\limits^{0}_{-3} { x^{2}} \, dx \Bigg)=$

$\displaystyle= -\Bigg(3\int\limits^{0}_{-3} {x} \, dx+\int\limits^{0}_{-3} { x^{2}} \, dx \Bigg)= - \Bigg (3 \cdot \dfrac{x^{2} }{2} \bigg |_{-3}^{0} + \dfrac{x^{3}}{3} \bigg |_{-3}^{0} \Bigg )=$

$\displaystyle = - \bigg (\frac{3}{2}\bigg(0^{2} - (-3)^{2}) + \frac{1}{3} \bigg(0^{3} - (-3)^{3} \bigg) \bigg) = - \bigg (\frac{3}{2}\bigg(0 - 9) + \frac{1}{3} \bigg(0 +27\bigg) \bigg) =$

$\displaystyle = - \bigg (-\frac{9 \cdot 3}{2} + \frac{27}{3} \bigg) = -9 +13,5 = 4,5$ квадратных единиц.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури обмеженої лініями y = x² і y = -3x, спершу знайдемо точки їх перетину, а потім інтегруємо різницю між цими двома функціями від одного x-значення до іншого.

По-перше, знайдемо точки перетину двох функцій, тобто розв'яжемо рівняння x² = -3x: x² + 3x = 0.

Це рівняння можна розв'язати шляхом факторизації: x(x + 3) = 0.

Отже, x = 0 або x + 3 = 0, що дає x = 0 або x = -3.

Тепер ми знаємо, що фігура обмежена лініями y = x² і y = -3x, має дві точки перетину x = 0 і x = -3.

Далі, знайдемо значення y для кожної з цих точок:

1. Для x = 0: y = (0)² = 0.
2. Для x = -3: y = (-3)² = 9.

Тепер ми знаємо координати точок перетину: (0, 0) і (-3, 9).

Щоб знайти площу фігури обмеженої цими двома кривими, інтегруємо різницю між цими двома функціями від x = -3 до x = 0 (тобто від лівої точки перетину до правої) за допомогою інтеграла від x:

S = ∫[from -3 to 0] (x² - (-3x)) dx S = ∫[from -3 to 0] (x² + 3x) dx

Тепер інтегруємо цю функцію: S = [x³/3 + (3x²)/2] |[from -3 to 0]

Підставляємо верхню межу: S = (0³/3 + (30²)/2) - (-3³/3 + (3(-3)²)/2)

Спростимо вираз: S = (0 + 0) - (-27/3 + 27/2) S = 0 - (-9 + 13.5)

Тепер обчислюємо: S = 9 - 13.5 S = -4.5

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x² і y = -3x, дорівнює 4.5 квадратними одиницями.